- Théorème de gershgorin
-
Théorème de Gerschgorin
En analyse numérique, le théorème de Gerschgorin est un résultat permettant de borner a priori les valeurs propres d'une matrice carrée. Il a été publié en 1931 par le mathématicien biélorusse Semion Aronovitch Gershgorin. Son nom peut être transcrit de diverses manières : Gershgorin, Gerschgorin ou Geršgorin.
Sommaire
Le théorème
Énoncé
Soit A une matrice complexe de taille n×n, de terme général (aij). Pour chaque indice de ligne i entre 1, et n on introduit le disque de Gerschgorin correspondant
qui constitue effectivement un disque dans le plan complexe, de rayon Ri.
Théorème: toute valeur propre de A appartient à l'un au moins des disques de Gerschgorin.
En appliquant le théorème à la matrice transposée de A, une nouvelle information est donnée sur la localisation des valeurs propres : elles se trouvent dans la réunion des disques de Gerschgorin associés aux colonnes
Démonstration
Soient λ une valeur propre de A et x = (x1, ..., xn) un vecteur propre associé. Pour i compris entre 1 et n, on a
Choisissons un indice i pour lequel le module de xi est maximal. Puisque x est un vecteur propre, |xi| est non nul et il est possible de former le quotient
Voir aussi
Références
- Patrick Lascaux, Raymond Théodor, Analyse numérique matricielle appliquée à l'art de l'ingénieur, tome 1 : Méthodes directes [détail des éditions]
- (de) Gerschgorin, S. "Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix." Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk 7, 749-754, 1931
- (en) Varga, R. S. Geršgorin and His Circles. Berlin: Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-21100-4. Errata.
Liens externes
- (en) Eric W. Weisstein. "Gershgorin Circle Theorem." dans le site MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- Portail des mathématiques
Catégories : Matrice | Théorème de mathématiques
Wikimedia Foundation. 2010.