Système invariant

Un processus transformant un signal d’entrée en un signal de sortie (signaux électriques par exemple) est appelé système invariant lorsqu’une translation du temps appliquée à l’entrée se retrouve à la sortie. Dans ce sens, la sortie ne dépend pas explicitement du temps.

Définition

Si au signal d'entrée $\displaystyle x(t)$ , un système invariant associe une sortie $\displaystyle y(t)$ , alors quel que soit le décalage temporel $\displaystyle \delta$ appliqué à l'entrée, le système associe au signal $\tilde x(t) = x(t + \delta)$ la sortie décalée $\tilde y(t) = y(t + \delta)$ .

Définition équivalente :

Un système est invariant s’il y a commutativité entre le bloc du système et un bloc délai arbitraire.

Cette propriété peut être satisfaite (mais pas nécessairement) si la fonction de transfert du système n'est pas une fonction du temps (hormis dans les expressions de l'entrée et de la sortie).

Exemples

Exemples basiques

Pour savoir comment déterminer si un système est invariant, considérons les deux systèmes :

Système A: $y(t) = t\, x(t)$
Système B: $\,\!y(t) = 10 x(t)$

Comme le système A dépend explicitement du temps t en dehors de $x(t)\,$ et $y(t)\,$ , alors le système n'est pas invariant. Le système B, lui, ne dépend pas explicitement du temps t et est donc invariant.

Exemples formels

Une preuve plus formelle de l'invariance (ou non) des systèmes A et B ci dessus est présentée ici. Pour effectuer cette preuve, la seconde définition va être utilisée.

Système A :

À partir de l'entrée avec un décalage $x_d(t) = \,\!x(t + \delta)$

$y(t) = t\, x_d(t)$

$y_1(t) = t\, x_d(t) = t\, x(t + \delta)$

Maintenant retardons la sortie par

δ

$y(t) = t\, x_d(t)$

$y_2(t) = \,\!y(t + \delta) = (t + \delta) x(t + \delta)$

Clairement $y_1(t) \,\!\ne y_2(t)$ , c'est pourquoi le système n'est pas invariant.

Système B :

À partir de l'entrée avec un décalage $x_d(t) = \,\!x(t + \delta)$

$y(t) = 10 \, x_d(t)$

$y_1(t) = 10 \,x_d(t) = 10 \,x(t + \delta)$

Maintenant retardons la sortie par $\,\!\delta$

$y(t) = 10 \,x_d(t)$

$y_2(t) = y(t + \delta) = 10 \,x(t + \delta)$

Clairement $y_1(t) = \,\!y_2(t)$ , c'est pourquoi le système est invariant

Exemple abstrait

Notons l'opérateur retard par $\mathbb{T}_r$ où $r$ est la quantité par laquelle le paramètre vectoriel doit être retardé. Par exemple, le système "avance de 1" :

$x(t+1) = \,\!\delta(t+1) * x(t)$

peut être représenté par la notation abstraite :

$\tilde{x}_1 = \mathbb{T}_1 \, \tilde{x}$

où $\tilde{x}$ est la fonction donnée par

$\tilde{x} = x(t) \, \forall \, t \in \mathbb{R}$

le système produisant la sortie décalée

$\tilde{x}_1 = x(t + 1) \, \forall \, t \in \mathbb{R}$

Donc $\mathbb{T}_1$ est un opérateur qui avance l'entrée vectorielle de 1.

Supposons que nous représentions le système par un opérateur $\mathbb{H}$ . Ce système est invariant s'il commute avec l'opérateur retard, c’est-à-dire :

$\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} = \mathbb{H} \, \mathbb{T}_r \,\, \forall \, r$

Si l'équation du système est donnée par :

$\tilde{y} = \mathbb{H} \, \tilde{x}$

Alors c'est un système invariant si on peut appliquer l'opérateur $\mathbb{H}$ sur $\tilde{x}$ suivi de l'opérateur retard $\mathbb{T}_r$ , ou appliquer l'opérateur retard $\mathbb{T}_r$ suivi de l'opérateur du système $\mathbb{H}$ , les 2 calculs produisant un résultat équivalent.

Appliquons l'opérateur du système en premier :

$\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} \, \tilde{x} = \mathbb{T}_r \, \tilde{y} = \tilde{y}_r$

Appliquer l'opérateur retard en premier donne:

$\mathbb{H} \, \mathbb{T}_r \, \tilde{x} = \mathbb{H} \, \tilde{x}_r$

Si le système est invariant, alors

$\mathbb{H} \, \tilde{x}_r = \tilde{y}_r$

Voir aussi

Catégories :

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Système invariant de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

Systeme invariant — Système invariant Un système invariant par décalage temporel est un système dont la sortie ne dépend pas explicitement du temps. Sommaire 1 Définition 2 Exemples 2.1 Exemple basique 2.2 Exemple formel … Wikipédia en Français
système invariant — invariantinė sistema statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Sistema, kurios būsenos parametrus galima pakeisti tik pakeitus fazių skaičių. atitikmenys: angl. invariant system; non variant system; nonvariant system vok.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
système invariant — invariantinė sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. invariant system; non variant system; nonvariant system vok. invariantes System, n; nonvariantes System, n rus. инвариантная система, f; нонвариантная система, f pranc. système… … Fizikos terminų žodynas
invariant — invariant, iante [ ɛ̃varjɑ̃, jɑ̃t ] adj. et n. m. • 1877; de 1. in et varier, par l angl. invariant (1851) ♦ Sc. Se dit d une grandeur, d une expression, d une relation ou d une propriété qui se conserve dans une transformation de nature physique … Encyclopédie Universelle
Invariant — En mathématiques, le mot invariant possède suivant le contexte différentes significations (non équivalentes). Il est utilisé aussi bien en géométrie et en topologie qu en analyse et en algèbre. Sommaire 1 Invariant d une transformation 2… … Wikipédia en Français
invariant system — invariantinė sistema statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Sistema, kurios būsenos parametrus galima pakeisti tik pakeitus fazių skaičių. atitikmenys: angl. invariant system; non variant system; nonvariant system vok.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
invariant system — invariantinė sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. invariant system; non variant system; nonvariant system vok. invariantes System, n; nonvariantes System, n rus. инвариантная система, f; нонвариантная система, f pranc. système… … Fizikos terminų žodynas
Systeme integrable — Système intégrable En mécanique hamiltonienne, un système intégrable au sens de Liouville est un système qui possède un nombre suffisant de constantes du mouvement indépendantes. Lorsque le mouvement est borné, la dynamique est alors périodique… … Wikipédia en Français
Systeme lineaire — Système linéaire Un système linéaire est un modèle de système qui applique un opérateur linéaire à un signal d entrée. Un système linéaire affiche typiquement des caractéristiques et des propriétés beaucoup plus simples que le cas général non… … Wikipédia en Français
Système différentiel linéaire — Système linéaire Un système linéaire est un modèle de système qui applique un opérateur linéaire à un signal d entrée. Un système linéaire affiche typiquement des caractéristiques et des propriétés beaucoup plus simples que le cas général non… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Système invariant

Sommaire

Définition