Synthèse miroir-dioptre-lentille

Pour positionner en optique géométrique l'image fournie par un miroir, un dioptre , une lentille ou un système centré dioptrique, il existe deux méthodes strictement mathématiquement équivalentes: la méthode algébrique et la méthode géométrique

• la méthode algébrique homographique

La position de l'image se déduit de la position de l'objet par des formules dites de conjugaison : Les francophones utilisent les formules dites de Descartes et les anglophones utilisent les formules dites de Newton qui sont bien plus simples formellement et bien plus faciles d'emploi. Ces deux formalismes sont strictement équivalent et ne sont que des cas particulier d'une seule formule mathématique utilisable en optique géométrique pour un miroir, un dioptre et une lentille ou même tout système centré caractérisé par une symétrie cylindrique ayant un axe de révolution ou axe optique; les mathématiciens utilisent le terme de fonction homographique qui a la propriété exceptionnelle suivante: la composition de deux transformations homographiques est une transformation homographique .

• la méthode géométrique est simplement la transcription dans un plan contenant l'axe optique de ces transformations.

Remarque:Ceci n'est valable que dans l'approximation de Gauss dite aussi approximation des petits angles

Généralités

La formule dite de conjugaison

ƒ_o /x_o + ƒ_i /x_i = 1 C'est la relation de Descartes qui fonctionne pour les miroirs, dioptres et lentilles ;

Elle s'écrit après deux lignes de calcul algébrique:

ƒ_i /x_i = 1 -ƒ_o /x_o soit x_i = ƒ_i /(1 -ƒ_o /x_o )et finalement: x_i = ƒ_i x_o /(x - ƒ_o )

• où x_o est la position algébrique de l'objet ou transformation homographique ,
• x_i est la position algébrique de l'image , l'instrument étant en x=0;
• f_o est la position algébrique du foyer objet
• et f_i est la position algébrique du foyer image

ou encore en retranchant ƒ_i de chaque côté

(x_i - ƒ_i )(x₀ - ƒ_o ) = ƒ_i ƒ_o C'est la relation dites de Newton.

le grandissement

Le grandissement

noter que c'est la seule formule à retenir finalement, Les autres s'en déduisent facilement.

• ƒ_o = ƒ_i pour un miroir
• ƒ_o = -ƒ_i pour une lentille
• ƒ_o = -ƒ_i /n pour un dioptre

Remarque: on peut appliquer la formule pour le dioptre dans tous les cas, en considérant

• n = -1 pour un miroir, ƒ_o = -ƒ_i /-1 ;
• n = 1 pour une lentille, ƒ_o = -ƒ_i /1 ;

C a pour coordonnées (ƒ_i + ƒ_o ,0).

Le grandissement γ vaut: γ = y_i /y_o = -ƒ_o /(x_o - ƒ_o ) = -(x_i - ƒ_i )/ƒ_i ceci permet de constater aussi que le lieu de l'image y_i est la droite d'équation: y =(-y_o /ƒ_i )·(x_i - ƒ_i ) qui passe par le point (ƒ_i ,0) et de pente -y_o /ƒ_i .

construction géométrique

L'animation ci dessous montre la façon dont on peut effectuer la composition de deux transformations homographiques qui est elle-même une transformation homographique permettant de positionner l'image produite par un Doublet

• Un rayon incident parallèle à l'axe est dévié en I par la première lentille et passe par le foyer image F'1 de la première lentille; il rencontre la deuxième lentille en J.
• On trace alors un rayon parallèle à IJ et passant par O2: il n'est pas dévié et il passe obligatoirement par F'2s c'est-à-dire le foyer image secondaire de la deuxième lentille situé à la perpendiculaire de F'2;
• On trace alors la droite JF'2s qui est le lieu de l'image finale si on déplace ' objet B sur le rayon incident parallèle(de façon à avoir un objet de taille fixe.
• en traçant BO1 qui n'est pas dévié par la première lentille on trouve sur la droite passant par I et J, l'image B'1 fournie par la première lentille; cette image qui sert d'objet à la deuxième lentille a par la deuxième lentille une image B'2 qui est l'image finale.
• en traçant la droite passant par B'1 et O2 on trouve B'2 l'image finale à l'intersection avec le lieu de B'2: ce point est l'image de B par le doublet
• si l'on projette sur l'axe optique B en A, B'1 en A'1, B'2 en A'2 on peut dire que A'2B'2 est l'image de AB par le doublet.

les formules de conjugaison

Puisque la composition de deux homographies est une homographie, on démontre algébriquement que la position de l'image s'obtient par la formule FA .F'A' = constante et la constante peut être calculée pour deux points conjugués quelconques; on prend habituellement les points pour lesquels le grandissement vaut +1 car ils sont faciles à positionner et sont appelés points principaux.

Voir aussi

• Dioptre
• Doublet
• Lentille optique
• Optique
• Miroir
• Stigmatisme

Références

les formules se trouvent dans tous les manuels de PHYSIQUE : Alonso Finn , Eugène HECH, Feynmann, Bruhat etc...

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