Reseau reciproque

Reseau reciproque

Réseau réciproque

Un cristal peut se décrire comme un réseau aux nœuds duquel se trouvent des motifs : atome, ion, molécule.

Si l'on appelle (\vec{e_1}, \vec{e_2},\vec{e_3}) les vecteurs définissant la maille élémentaire, ces vecteurs définissent une base de l'espace. On peut définir une base réciproque par (\vec{e^*_1}, \vec{e^*_2}, \vec{e^*_3}) vérifiant [1]

\vec{e_i}.\vec{e^*_j} = \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{si }i=j \\ 0 & \text{si }i\ne j \end{cases}

ce qui donne

\vec{e^*_1} = \frac{1}{V_m} \cdot \vec{e}_2 \wedge \vec{e}_3
\vec{e^*_2} = \frac{1}{V_m} \cdot \vec{e}_3 \wedge \vec{e}_1
\vec{e^*_3} = \frac{1}{V_m} \cdot \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2

où Vm est le volume de la maille du réseau direct :

V_m = (\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}) = \vec{e_1}.(\vec{e_2} \wedge \vec{e_3})


Les points ayant des coordonnées entières dans le repère (O, \vec{e^*_1}, \vec{e^*_2},\vec{e^*_3}) forment un réseau appelé réseau réciproque.

Sommaire

Application

L'étude des cristaux se fait en général par diffraction d'un rayonnement ayant une longueur d'onde de l'ordre de la distance inter-atomique. À partir de la figure de diffraction obtenue, on peut déterminer la forme du réseau, et donc la structure du cristal.

Si l'on appelle

  • \vec{k} le vecteur d'onde du rayonnement incident ;
  • \vec{k'} le vecteur des ondes diffusées dans une direction donnée ;
  • \vec{K} le vecteur de diffusion (ou vecteur de diffraction) défini par \vec{K} = \vec{k'} - \vec{k} ;

alors la condition de diffraction sur un monocristal est donnée par le théorème de Bloch :

il y a diffraction si \vec{K} est un vecteur du réseau réciproque.

Table des réseaux réciproques

Pour trouver le réseau réciproque il faut considérer la maille primitive. On utilise par contre couramment des réseaux non-primitifs, comme le cubique centré (2 nœuds par maille) et le cubique faces centrées (4 nœuds par maille).

Réseau (paramètre) : Réseau réciproque (paramètre) :
cubique \left(a\right) cubique \left(\frac{2\pi}{a}\right)
cubique centré \left(a\right) cubique faces centrées \left(\frac{4\pi}{a}\right)
cubique faces centrées \left(a\right) cubique centré \left(\frac{4\pi}{a}\right)

Ici on a posé \vec{a^*}.\vec{a}=2.\pi

Note

  1. ↑ il existe deux manières de définir le vecteur d'onde ; soit sa norme est 1/λ, on a alors les formules indiquées ; soit sa norme est 2π/λ et on a alors \vec{e_i}.\vec{e^*_j} = 2\pi\delta_{ij} et \vec{e_m^*} = \frac{2 \pi}{V} \cdot \vec{e_n} \wedge \vec{e_p} où (m, n, p) est une permutation circulaire de (1, 2, 3)

Voir aussi

  • Portail de la chimie Portail de la chimie
  • Portail de la physique Portail de la physique
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