Relation de récurrence

Dans une suite, une relation de récurrence est une équation dans laquelle l'expression de plusieurs termes de la suite apparait, par exemple:

$u_{n+2} - \sqrt{2 u _{n+3} + u_n} = 0$

$u_{n^2} = u_n$

(u n + 2) 2 - u n - u n + 1 = 0

ou si l'on se place dans les suites de mots sur l'alphabet ${a, b}$ :

α n + 1 = a α n b b

Si la relation de récurrence a une « bonne » présentation, cela permet de calculer l'expression du terme d'indice le plus élevé en fonction de l'expression des autres. Par exemple dans la dernière équation, si on admet que les $u n$ sont des réels positifs, on peut écrire:

$u_{n+2} = \sqrt{u _{n+1} + u_n}.$

Une relation de récurrence et la donnée de « suffisamment » de termes initiaux permettent souvent de déterminer l'expression de tous les termes d'une suite (voir définition par récurrence).

Un relation de récurrence très simple est celle qui lie le terme d'indice n + 1 au terme d'indice n.

Exemple — On définit les puissances

z n

d'une variable

z

par la relation de récurrence :

$z^{n+1}= z\;\times z^{n}$ et l'initialisation

z 0 = 1

Exemple — La suite de Fibonacci est définie par la donnée de

u 0 = 1

u 1 = 1

et par la relation de récurrence

u n + 2 = u n + u n + 1

; cette relation de récurrence est dite « linéaire ».

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