Relation de dispersion

Relation de dispersion

En physique théorique, une relation de dispersion est une relation entre la pulsation ω et le vecteur d'onde \vec{k} d'une onde monochromatique.

Par extension, la dualité onde-corpuscule de la physique quantique conduit à l'introduction de relation de dispersion pour une particule, comme relation entre son énergie E et sa quantité de mouvement \vec{p}.

Sommaire

Exemples

Onde monochromatique de célérité c dans un milieu non dispersif

Un milieu non dispersif est caractérisé par un indice n indépendant de la pulsation. En notant : k = || \vec{k} ||, la relation de dispersion s'écrit :

\omega \ = \ \frac{c}{n} \ k

La vitesse de phase est alors constante :

v_{\varphi} \ = \ \frac{\omega}{k} \ = \ \frac{c}{n}

et est égale à la vitesse de groupe :

v_{g} \ = \ \frac{d\omega}{dk} \ = \ \frac{c}{n}

Onde monochromatique de célérité c dans un milieu dispersif

Dans un milieu dispersif, l'indice optique n dépend de la pulsation ω. En notant : k = || \vec{k} ||, la relation de dispersion s'écrit :

\omega \ = \ \frac{c}{n(\omega)} \ k

La vitesse de phase dépend alors explicitement de la pulsation :

v_{\varphi} \ = \ \frac{\omega}{k} \ = \ \frac{c}{n(\omega)}

La vitesse de groupe n'est en général plus égale à la vitesse de phase, mais lui est reliée par la relation de Rayleigh :

v_{g} \ = \ \frac{d\omega}{dk} \ = \ \frac{d(k \, v_{\varphi})}{dk} \ = \ v_{\varphi} \ + \ k \ \frac{d v_{\varphi}}{dk}

Particule non relativiste de masse m

En notant : p = || \vec{p} ||, la relation de dispersion s'écrit :

E \ = \ \frac{p^2}{2m}

Particule relativiste de masse m

E \ = \ \sqrt{p^2 \, c^2 \ + \ m^2 \, c^4 \ }

Particule relativiste de masse nulle

E \ = \ p \, c

Articles connexes

Bibliographie

Notes



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