Rapidité (relativité)

Rapidité (relativité)

En relativité restreinte, la rapidité est un substitut à la vitesse comme mesure du mouvement. A faible vitesse, la rapidité et la vitesse sont proportionnelles, mais la rapidité diverge à haute vitesse pour tendre vers l'infini quand la vitesse approche de la vitesse de la lumière. L'intérêt de la rapidité vient du fait qu'elle est simplement additive par changement de référentiel, quand les vitesses sont parallèles, alors que la formule pour les vitesses correspond à une formule de trigonométrie hyperbolique. La rapidité permet aussi d'exprimer les transformations de Lorentz comme rotation hyperbolique dans l'espace de Minkowski.

La rapidité est rarement utilisée car elle est moins pratique que la quadri-vitesse dans les formules d'invariance de l'impulsion, et surtout cette simplicité n'est valable que dans le cas du parallélisme des vitesses.

La rapidité \ \phi d'un objet par rapport à un référentiel inertiel est l'angle hyperbolique défini par

\phi = \operatorname{argth}{\left( \frac{v}{c} \right) }\,

où

v est la vitesse dans ce référentiel,
c est la vitesse de la lumière, et
argth est la fonction inverse de la tangente hyperbolique.

Détails

Un corps se déplaçant à la vitesse w\, par rapport à un référentiel R, qui lui-même se déplace à la vitesse v\, par rapport à un autre référentiel R', en supposant que \vec w // \vec v. La vitesse du corps par rapport à ce second référentiel est w'\,, calculée par : w' \,=\, \frac{w+v}{1 + (w v/c^2)}\,.

En posant \frac{w}{c} = \operatorname{tanh} \left(\theta\right) \, , \frac{w'}{c} = \operatorname{tanh} \left(\theta'\right) \, ,\frac{v}{c} = \operatorname{tanh} \left(\phi\right) \, , on obtient, avec les formules de trigonométrie hyperbolique : \ \theta' =\theta + \phi.

Bibliographie

  • James H. Smith, Introduction à la relativité, InterEditions (1968). 2e édition avec exercices corrigés (1979) ISBN 2-7296-0088-4. Réédité par Masson (Dunod - 3e édition - 1997), ISBN 2225829853.

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