Quadrupole

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Quadrupôle

Le quadrupôle, en électrostatique, est une distribution de charges, ayant pour particularité que les barycentres des charges respectivement positives et négatives sont confondus.

Sommaire

Analyse du quadrupôle

Soit une distribution (D) de charges qi aux points Pi. Cette distribution (D) à support compact crée à une grande distance des charges (pour r >> a, avec a longueur caractéristique de la distribution) un potentiel V1(r).

On définit :

  • q = Σqi la somme des charges
  • \vec{p}(O) = \Sigma q_i \vec{OP_i}, indépendant de O si q=0, nul si O est choisi barycentre des charges
  • J_O = \Sigma q_i {OP_i}^2, le moment d'inertie par rapport à O
  • \hat{J} (\vec{X}) = \Sigma q_i \vec{OP_i} \times ( \vec{X} \times \vec{OP_i}), l'opérateur linéaire d'inertie par rapport à O
  • \hat{Q} = 2 J_o X -3 \hat{J} X, l'opérateur linéaire quadrupolaire en O

On peut vérifier que trace(\hat{Q})= 0.

Développement quadrupolaire

Théorème :

V1(M) = \frac{q}{r} + \frac{\vec{p}.\vec{u}}{r^2} + \frac{\vec{u}.(\hat{Q} \vec{u})}{2 \times r^3} + o(\frac{1}{r^3}), avec \vec{u} = \vec{r}/r

Cas particulier : axe de symétrie

(D) possède la symétrie de révolution autour d'un axe, disons Oz.

Alors la matrice de \hat{Q} est diagonale, avec Qx,x = Qy,y = − Qo / 2 et Qz,z = Qo qui s'appelle moment quadrupolaire en O de la distribution. Si q n'est pas nul, on choisit O en G, et alors :

V1(M) = \frac{q}{r} + \frac{Q_o}{2 \times r^3} \times [P_2(cos \theta )] + o(\frac{1}{r^3}), avec P2(x) = 1 / 2.(3x2 − 1) (2e polynôme de Legendre).

Ce théorème vaut en gravimétrie pour la Terre supposée de révolution. Dans ce cas, Qo = 2(A − C) < 0 ; l'usage est de poser J_2 = \frac{C-A}{Ma^2} = 1.08263 \times 10^{-3}.

Le potentiel terrestre est ainsi V(M) = -\frac{GM}{r} + \frac{GMa J_2 P_2(cos \theta)}{r^3}.

Ce développement peut être poussé plus loin (développement en harmoniques sphériques; termes en J4 (octupolaire), J6, etc.).

Voir aussi

  • Portail de la physique Portail de la physique
  • Portail de l’électricité et de l’électronique Portail de l’électricité et de l’électronique
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