Petit groupe

Petit groupe

En relativité, on appelle petit groupe le sous-groupe des transformations de Lorentz {\Lambda^\alpha}_\beta dont les éléments laissent invariant une quadri-impulsion pα donnée. Si {W^\alpha}_\beta est un membre de ce groupe, on a donc :

p^\alpha = {W^\alpha}_\beta p^\beta

Structure du petit groupe (cas particulier)

(Nous adoptons ici comme métrique lorentzienne ημν de signature ( + , − , − , − ), ainsi que le système d'unités « naturelles » où \hbar = c = 1)

Considérons, par exemple, une particule matérielle de quadri-impulsion p^\alpha \neq 0. Il existe alors un référentiel lorentzien dans lequel cette particule est au repos ; on peut donc y écrire : pα = t(M,0,0,0).

Tout élément du petit groupe correspondant doit donc vérifier : p^\alpha = {W^\alpha}_\beta p^\beta. Donc, en particulier : p^0 = {W^0}_0p^0 (+ 0 + 0 + 0), c'est-à-dire {W^0}_0 = 1.

Pour toutes les autres composantes pi = 0, nous avons : p^i = 0 = {W^i}_\alpha p^\alpha, donc {W^i}_0 = 0 .

Considérons maintenant, conformément à la méthode générale sur les groupe de Lie, une transformation du petit groupe {W^\alpha}_\beta arbitrairement proche de l'identité, de sorte que l'on puisse écrire, au premier ordre :

{W^\alpha}_\beta = {\delta^\alpha}_\beta + {\omega^\alpha}_\beta

où {\omega^\alpha}_\beta est une transformation infinitésimale. Puisque {W^\alpha}_\beta est une transformation de Lorentz, elle doit vérifier :

\eta_{\nu \mu} = {W^\alpha}_\nu {W^\beta}_\mu \eta_{\alpha \beta}

Ceci donne, en remplaçant {W^\alpha}_\nu et {W^\beta}_\mu par leurs développements correspondants :

\eta_{\nu \mu} = ({\delta^\alpha}_\nu + {\omega^\alpha}_\nu) ({\delta^\beta}_\mu + {\omega^\beta}_\mu) \eta_{\alpha \beta} = ({\delta^\alpha}_\nu {\delta^\beta}_\mu + {\delta^\alpha}_\nu {\omega^\beta}_\mu + {\delta^\beta}_\mu {\omega^\alpha}_\nu + ...) \eta_{\alpha \beta}
= {\delta^\alpha}_\nu {\delta^\beta}_\mu \eta_{\alpha \beta} + {\delta^\alpha}_\nu {\omega^\beta}_\mu \eta_{\alpha \beta} + {\delta^\beta}_\mu {\omega^\alpha}_\nu \eta_{\alpha \beta} = \eta_{\nu \mu} + {\delta^\alpha}_\nu \omega_{\alpha \mu} + {\delta^\beta}_\mu \omega_{\beta \nu} = \eta_{\nu \mu} + \omega_{\nu \mu} + \omega_{\mu \nu}

D'où : ωνμ + ωμν = 0.

La matrice 4x4 ωνμ est donc antisymétrique, et possède ainsi 6 composantes indépendantes. Avec la condition de nullité des trois composantes {W^i}_0 = 0 , on se retrouve avec 3 composantes indépendantes seulement.

Les matrices infinitésimales (ωνμ)i sont donc engendrées par trois matrices élémentaires de type \left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & \epsilon_{ijk}\end{array}\right). On reconnaît là les trois générateurs du groupe des rotations de R³, SO(3).

Le petit groupe est donc ici le groupe SO(3), un résultat intuitif attendu.

Autres cas

La quadri-impulsion ne peut prendre que deux autres valeurs physiques :

  1. Dans le cas d'une particule de masse nulle au repos pα = 0, le petit groupe est évidemment le groupe de Lorentz homogène SO(3,1) ;
  2. Dans le cas d'une particule de masse nulle se déplaçant à la vitesse de la lumière \frac{dx}{dt} = 1, p^\alpha = {}^t (1, 1, 0, 0), le petit groupe est le groupe ISO(2) des rotations et translations du plan euclidien.

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Petit groupe de Wikipédia en français (auteurs)

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