Permanent (mathematiques)

Permanent (mathematiques)

Permanent (mathématiques)

Définition

Le permanent est un outil d'algèbre matricielle. Par définition, le permanent d'une matrice carrée A = (aij) d'ordre n vaut :

\operatorname{per}(A)=\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n}\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}.

\mathfrak{S}_n désigne le groupe symétrique d'ordre n. Par exemple :

\operatorname{per}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad+bc

La définition est très proche de celle du déterminant d'une matrice :

\operatorname{det}(A) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}

où ε(σ) est la signature de la transposition σ. On peut noter qu'il est impossible de définir de manière semblable une autre notion que le permanent ou le déterminant en remplaçant la signature ou la fonction constante égale à 1 par un autre morphisme de groupe de \mathfrak{S}_n dans \mathbb{C}^* : la signature et la fonction constante égale à 1 sont les seuls morphismes de groupe de \mathfrak{S}_n dans \mathbb{C}^*.

Propriétés

Le permanent peut être vu comme une forme n-linéaire symétrique prenant n vecteurs comme arguments (les colonnes d'une matrice). Il existe pour le permanent des formules analogues à celles du déterminant :

  1. Le permanent de la transposée d'une matrice est égal au permanent de la matrice.
  2. Il existe une formule similaire de développement d'un permanent le long d'une colonne : si A = (aij), et Aij est la matrice obtenue à partir de A en supprimant la ième ligne et la jème colonne, alors per(A) = \sum_{i=1}^n a_{ij} per(A_{ij}).
  3. Le permanent d'une matrice trigonale par blocs A = \left( \begin{matrix} A_1 & & & (0) \\ & A_2 & & \\ & & \cdot & \\ (*) & & & A_k \\ \end{matrix} \right) vaut per(A) = \prod_{i=1}^k per(A_i).

Mais le permanent n'est pas multiplicatif.

Contrairement au déterminant, le permanent n'a pas de signification géométrique naturelle, il est principalement utilisé en combinatoire, par exemple pour démontrer le lemme des mariages, et également en théorie des graphes. Des problèmes compliqués sont rattachés à l'étude des permanents comme le théorème d'Alexandrov ou le théorème d'Egorychev.

Outre la difficulté théorique, le permanent est beaucoup plus dur à calculer que le déterminant. Il n'existe pas d'analogue de l'élimination de Gauss-Jordan pour les permanents.

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