- Négligeable
-
En mathématiques, la notion de négligeabilité exprime le fait qu'une fonction numérique « l'emporte » localement sur une autre. On dit que la deuxième fonction est négligeable devant la première.
En physique, une quantité l'est par rapport à une autre si ses effets le sont par rapport à ceux de l'autre. Par exemple, la masse d'une fourmi est négligeable devant celle d'un l'éléphant, et la masse de l'ensemble peut être assimilée à celle du pachyderme.
Sommaire
Définition en mathématiques
Soient I une partie de
, a un point de l'adhérence de I, f et g des applications de I vers
Lorsque a est réel, on dit que f est négligeable devant g (ou que g est prépondérante devant f) au voisinage de a si et seulement si :
0,\,\exists \eta>0,\,x\in]a-\eta,a+\eta[\cap I\Rightarrow\,f(x)\le \varepsilon\,g(x)" border="0">
Dans le cas où a est égal à
, on dit que f est négligeable devant g au voisinage de a si et seulement si :
0,\,\exists A>0,\,x\in[A,+\infty[\cap I\Rightarrow\,f(x)\le \varepsilon\,g(x)" border="0">
Une définition équivalente et plus utile en pratique pour montrer qu'une fonction l'emporte sur l'autre au voisinage d'un point a est, dans le cas où g est (sauf peut-être en a) non nulle sur un voisinage de a: f est négligeable devant g au voisinage de a si et seulement si :
On écrit alors f = ao(g) qui se lit « f est un petit o de g au voisinage de a ». C'est une des notations de Landau.
Propriétés
- Si
et
alors pour tous réels α et β,
- Si
et
alors
- Si
et
bornée au voisinage de a alors
- Si
et
alors
(transitivité)
Échelle de comparaison
Une échelle de comparaison Ea est une famille de fonctions définies au voisinage de a (sauf peut-être en a) telle que:
Partie principale d'une fonction par rapport à une échelle
Définition
Soient une fonction
définie dans un voisinage V de a (sauf peut-être en a), ne s'annulant pas sur
,
une échelle de comparaison en a. On dit que
admet la fonction
comme partie principale par rapport à l'échelle
si et seulement s'il existe un réel A non nul tel que f∼aA.g (ou f = aA.g + o(g)).
Propriétés
- Unicité en cas d'existence
- Soient
et
admettant respectivement
et
comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison
. La partie principale de
par rapport à l'échelle de comparaison
est la fonction
- Soient
et
admettant respectivement
et
comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison
.
- Si
alors
est la partie principale de
par rapport à l'échelle de comparaison
.
- Si
alors
est la partie principale de
par rapport à l'échelle de comparaison
.
- Si
et que
alors
est la partie principale de
par rapport à l'échelle de comparaison
.
Comparaison pour les suites
Définition
Une suite
de nombres réels est dite négligeable devant une suite réelle
lorsque :
0,\,\exists N\in\N,\,n\ge N\,\Rightarrow\,u_n\le \varepsilon\,v_n" border="0">
Une définition équivalente : une suite
de nombres réels est dite négligeable devant une suite réelle
lorsqu'il existe une suite
de limite nulle tel que:
On note:
Proposition équivalente
Une définition plus utile en pratique pour montrer qu'une suite est négligeable devant une autre est :
0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N},n \geq N \Rightarrow |u_n| \leq \varepsilon |v_n|" border="0">
Voir aussi
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