Intégrale à paramètres

Intégrale à paramètres

Intégrale paramétrique

En mathématiques, une intégrale paramétrique (également appelée intégrale à paramètre) est une fonction définie à partir de l'intégration d'une fonction de plusieurs variables sur un ensemble fixe par rapport à une partie des variables seulement. Une classe importante d'exemples est l'ensemble des transformées dont par exemple la transformée de Fourier.

Sommaire

Exemples

Transformée de Fourier

Article détaillé : transformée de Fourier.

Soit f une fonction de  \mathbb R^n dans  \mathbb C , L-intégrable sur  \mathbb R^n, la transformée de Fourier de f est la fonction de  \mathbb R^n dans  \mathbb C définie par la formule suivante :

 \hat{f}(x) = \int_{\mathbb R^n}\exp[-2i\pi(x|y)]f(y)dy

 (\cdot|\cdot) désigne le produit scalaire usuel.

Fonction gamma d'Euler

Article détaillé : fonction gamma.

La fonction gamma d'Euler est définie pour chaque  x\in ]0,\infty[ par la formule suivante :

 \Gamma(x) = \int_0^{+\infty}t^{x-1}\exp(-t)dt

Potentiel du champ de gravitation

Le potentiel du champ de gravitation créé par un corps matériel M de densité variable ρ en un point  x\in \mathbb R^3 extérieur à M est donné par la formule suivante

 V(x) = -G\int_M {\rho(y)\over ||x-y||_2}dy

G désigne la constante de gravitation et  ||\cdot||_2 la norme euclidienne.

Définition formelle

Si  q\ge 1 et  s\ge 1 sont des entiers tels que q + s = n, on écrira  \mathbb R^n = \mathbb R^q\times\mathbb R^s avec x = (y,z) pour chaque élément  x\in \mathbb R^n .

Soit f une fonction de  \mathbb R^n dans  \mathbb R^p , A une partie de \mathbb R^q et B une partie de  \mathbb R^s. Si,  \forall y\in A , la fonction  f(y, \cdot) de  \mathbb R^s dans \mathbb R^p est intégrable sur B, alors l'application F de A dans  \mathbb R^p définie par :

F(y) = f(y,z)dz
B

est appelée une intégrale paramétrique.

Existence d'une limite

Soit  a\in \mathrm{adh}\,A et si les conditions suivantes sont satisfaites :

  •  \forall y\in A , la fonction  f(y, \cdot) est intégrable sur B ,
  •  \lim_{y\to A, y\in A} f(y,z) existe pour presque tout  z\in B ,
  •  \exists r > 0 et des fonctions réelles g et h intégrables sur B telles que  \forall y\in A\cap B_{\infty}[a;r] et pour presque tout  z\in B , on ait
 g(z)\le f(y,z)\le h(z)

alors la fonction  \varphi définie presque partout sur B par

 \varphi(z) = \lim_{y\to a, y\in A} f(y,z)

est intégrable sur B et

 \lim_{y\to A, y\in A} F(y) = \int_B \varphi(z) dz

soit encore :

 \lim_{y\to a, y\in A} \left[\int_B f(y,z) dz\right] = \int_B\left[\lim_{y\to a, y\in A} f(y,z)\right]dz

Remarque, la notation  B_{\infty}[a;r]  tient pour la boule fermée de centre a et de rayon r pour la norme infinie.

Continuité

Continuité locale : si l'on remplace la deuxième hypothèse du résultat précédent par une hypothèse de continuité de  f(\cdot, z) en  a \in A pour presque tout  z\in B , on déduit du résultat précédent la continuité de F en a.

Continuité globale : par conséquent, si f est continue sur  A\times B , que A est ouvert et B est fermé et borné, alors F est continue sur A.

Règle de Leibniz de dérivation sous le signe d'intégration

Etude locale

Supposons que  \mathrm{int} \,A \neq \emptyset et que les trois conditions suivantes soient satisfaites :

  •  f(y, \cdot) est intégrable sur B pour chaque  y\in A
  • Il existe un entier  1 \le i \le q , un point  a\in \mathrm{int}\, A et un réel r > 0 tels que  B_{\infty}[a;r]\subset A et tels que  f(\cdot, z) possède pour presque tout  z\in B une dérivée partielle par rapport à yi en chaque point  y\in B_{\infty}[a;r] .
  • Il existe deux fonctions réelles g et h intégrables sur B telles que, pour tout  y\in B_{\infty}[a;r] et presque tout  z\in B , on ait :
 g(z) \le {\partial\over \partial y_i} f(y,z) \le h(z)

Alors, l'intégrale paramétrique F possède en a une dérivée partielle par rapport à yi. Par ailleurs,  {\partial \over \partial y_i} f(a,\cdot) est intégrable sur B et  :

 {\partial\over\partial y_i} F(a) = \int_B {\partial\over\partial y_i} f(a,z) dz

Soit encore :

{\partial\over\partial y_i}\left[\int_Bf(a,z)dz\right] = \int_B{\partial\over\partial y_i}f(a,z)dz

Etude globale

Si A est ouvert, B est fermé borné et s'il existe  1\le i\le q tel que, pour chaque  (y,z)\in A\times B , f possède une dérivée partielle par rapport à yi et si {\partial\over\partial y_i }f est une fonction continue sur  A \times B, alors F possède en chaque point  y\in A une dérivée partielle par rapport à yi, la fonction  {\partial \over \partial y_i}F est continue sur A et, pour tout  y\in A , on a :

 {\partial\over\partial y_i}F(y) = \int_B {\partial \over \partial y_i}f(y,z) dz

Forme générale unidimensionnelle

Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation du théorème fondamental de l'analyse et peut s'avérer utile dans le calcul de certaines intégrales réelles.

Soit f une fonction continue de  \mathbb R^2 dans  \mathbb R et possédant une dérivée partielle continue sur \mathbb R par rapport à la première variable. Soient a et b deux fonctions dérivables de \mathbb R dans  \mathbb R , si F est l'intégrale paramétrique définie par :

 F(y) = \int_{a(y)}^{b(y)}f(y,z)dz

on montre que F est dérivable sur tout  \mathbb R et que

 F'(y) = f(y, b(y))b'(y) - f(y,a(y))a'(y) + \int_{a(y)}^{b(y)}{\partial\over \partial y}f(y,z)dz

Remarque : on retrouve bien le théorème fondamental de l'analyse en posant a(y) = a et b(y) = b.

Exemples

Calcul d'intégrale 1

Voici une des nombreuses applications possibles de la forme générale unidimensionnelle avec des bornes constantes. On considère l'intégrale de Gauss avec a > 0 :

 I = \int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-ax^2) = \sqrt{{\pi\over a}}

on peut en déduire, en appliquant l'identité que :

 \int_{-\infty}^{+\infty} x^2\exp(-ax^2)dx = \frac12\sqrt{{\pi\over a^3}}

Remarque, on peut étendre le résultat à toute intégrale ayant pour intégrande x2nexp( − ax2). (Les exposants impairs donnant systématiquement des intégrales nulles par parité).

Calcul d'intégrale 2

Soit l'intégrale suivante :

 I = \int_0^{+\infty}{\exp(-ax)-\exp(-bx)\over x}dx

on peut vérifier en utilisant la règle de Leibniz que :

 I = \ln{b\over a}

Intégrale de Gauss

Article détaillé : Intégrale de Gauss.

L'intégrale de Gauss joue un rôle important en analyse et en calcul des probabilités, elle est définie par :

 I = \int_0^{+\infty}\exp(-x^2)dx = {\sqrt{\pi}\over 2}

puisque la fonction est paire, on peut étendre le résultat à l'intégrale sur tout l'axe réel en doublant I. Ce résultat peut s'obtenir de plusieurs façons dont une utilisant la notion d'intégrale paramétrique.

Théorème de Fubini

Article détaillé : Théorème de Fubini.

A l'instar de la règle de Leibniz, le théorème de Fubini tient pour l'intégrabilité d'une intégrale paramétrique dont voici une version pour le cas de l'intégrabilité au sens de Riemann.

Soit A un pavé fermé de \mathbb R^q, B un pavé fermé de   \mathbb R^s avec  q, s\ge 1. Soit encore f une fonction bornée définie sur  A\times B .

Si f est intégrable au sens de Riemann sur  A\times B , alors,

  • La fonction  f(y,\cdot) est intégrable au sens de Riemann sur B pour presque tous les y de A et l'intégrale paramétrique F1 définie par
F1(y) = f(y,z)dz
B

est intégrable sur A et on a :  \int_{A\times B} f = \int_A F_1 .

  • La fonction  f(\cdot, z) est intégrable au sens de Riemann sur A pour presque tout les z de B et l'intégrale paramétrique F2 définie par
F2(z) = f(y,z)dy
A

est intégrable sur B et on a :  \int_{A\times B}f = \int_B F_2

Si f est continue, les fonctions  f(y, \cdot) et  f(\cdot, z) le sont aussi et le théorème de Fubini permet d'écrire :

 \int_{A\times B}f = \int_A\left(\int_B f(y,z)dz\right)dy = \int_B\left(\int_A f(y,z)dy\right)dz

Exemple

Soit A = [0,2], B = [1,3] et f définie sur  A\times B par f(x,y) = x2 + y. Elle est intégrable sur  A\times B puisqu'elle est continue et on a :

 \int_{A\times B}f = \int_0^2\left(\int_1^3(x^2+y)dy\right)dx = \int_0^2 (2x^2+4)dx = {40\over 3}
 \int_{A\times B}f = \int_1^3\left(\int_0^2 (x^2+y)dx\right)dy = \int_1^3\left({8\over 3}+2y\right)dy = {40\over 3}

Voir aussi

Références

  • Jean MAWHIN, Analyse, fondements, techniques, évolution, 2e édition, De Boeck Université, (ISBN 978-2804124892)
  • Camille DEBIEVE, Intégrales multiples, notes de cours disponible en ligne.
  • Article Differentiation under the integral sign de Planet Math, lien
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