Fonction de morse

Fonction de morse

Fonction de Morse

En analyse, on appelle fonction de Morse toute fonction différentiable de classe au moins C2, et dont les points critiques sont non-dégénérés (c.-à-d. dont la matrice hessienne est une forme quadratique non dégénérée). À un niveau élémentaire, les fonctions de Morse se définissent sur les ouverts de Rn ; en géométrie différentielle, elles se définissent plus généralement sur les variétés différentielles.

En topologie différentielle, l'utilisation des fonctions de Morse s'est avérée centrale dans la preuve du théorème du h-cobordisme.

Sommaire

Non-dégénérescence d'un point critique

Articles détaillés : Matrice hessienne et Point critique.

Pour une fonction f de classe C2 définie sur un voisinage de 0 de Rn, la hessienne de f en 0, notée Hessf est toujours bien définie. C'est la forme quadratique définie sur Rn définie par :

\operatorname{Hess}_f(u,v)=\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} u_iv_j.

Il est à remarquer que cette définition est en soi non triviale car utilise implicitement le théorème de Cauchy. Cependant, si 0 est un point critique de f, et pour tout difféomorphisme local g en 0 avec g(0)=0, il vient :

\operatorname{Hess}_{fg}(u,v)= \operatorname{Hess}_f\bigl(\mathrm d_0g(u),\mathrm d_0g(v)\bigr)

Cette formule autorise de parler de la hessienne d'une fonction de classe C2 sur une variété différentielle en ses points critiques.

Une fonction f : M → R est dite de Morse lorsque pour tous ses points critiques x, la hessienne de f en x est une forme quadratique non dégénérée sur l'espace tangent Tx M.

Comportement local en un point critique

Généricité des fonctions de Morse

Références


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