Exposant (mathématiques)

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En mathématiques, l'opération puissance consiste à multiplier un nombre a par lui-même plusieurs fois de suite. Le nombre de facteurs intervenant dans cette opération est noté à la suite du nombre a en le décalant légèrement vers le haut à droite en réduisant sa taille, autrement dit il est noté en exposant au sens typographique de ce terme. Pour cette raison, ce nombre de facteurs est encore appelé exposant de l'opération puissance, et ce nom remplace parfois abusivement le nom de l'opération elle-même. Ainsi, si n est un entier naturel supérieur ou égal à un et a un nombre réel ou complexe :

qui est lu « a puissance n » ou abusivement « a exposant n ».

À cause de l'importance de l'exposant, et à cause de cette tendance à dire « a exposant n » au lieu de « a puissance n », le nom de l'opération puissance est aussi remplacé par le terme exponentiation qui est bien sûr lié au terme exposant.

Cette notion, où l'exposant est un entier naturel, peut être étendue à tous les objets mathématiques sur lesquels on peut effectuer une multiplication ou une autre opération à notation multiplicative (fonctions, matrices, etc). La structure naturelle où apparaît cette notion d'exposant est celle de monoïde.

Elle peut même dans certains cas être étendue à des exposants entiers relatifs (c'est-à-dire positifs ou nuls ou négatifs), par exemple (voir ci-dessous) quand on multiplie des nombres non nuls rationnels, réels, complexes, p-adiques, ou plus généralement les éléments d'un groupe.

Il existe des algorithmes permettant de calculer une puissance, de façon plus efficace que par la méthode naïve consistant à le multiplier par lui-même plusieurs fois : voir exponentiation rapide.

Cas particuliers

est appelé le carré de a, car l'aire d'un carré de côté a est a².

est appelé le cube de a, car le volume d'un cube de côté a est a³.

En outre, par convention :

et, si a est différent de zéro :

La raison de ces deux conventions^[1] est de permettre que les théorèmes ci-dessous soient valables aussi pour ces valeurs d'exposants.

Extension à des exposants négatifs

Pour que le deuxième théorème ci-dessous reste valable lorsque n − m est négatif, on a été conduit à donner la définition suivante pour les exposants négatifs :

Si a est un nombre réel non nul et si n est un nombre entier positif, alors

En outre, avec cette définition, les autres théorèmes ci-dessous restent valables également.

Théorèmes

Dans les théorèmes essentiels qui suivent a,b... désignent des nombres réels, tandis que m,n... désignent (a priori) des nombres entiers.

En outre a (ainsi que b dans le dernier théorème) doit être non nul, s'il intervient dans une puissance à exposant négatif.

Histoire

Dans la première partie du livre premier de sa Théorie analytique des probabilité^[2], Laplace présente l'histoire heureuse de cette notation :

« La position d'une grandeur à la suite d'une autre suffit pour exprimer leur produit. Si ces grandeurs sont la même, ce produit est le carré ou la seconde puissance de cette grandeur. Mais, au lieu de l'écrire deux fois, Descartes imagina de ne l'écrire qu'une fois, en lui donnant le nombre 2 pour exposant, et il exprima les puissances successives, en augmentant successivement cet exposant d'une unité^[2]. »

,

« Wallis, qui s'est attaché spécialement à suivre le fil de l'induction et de l'analogie, a été conduit par ce moyen à exprimer les puissances radicales par de exposants fractionnaires; et de même que Descartes exprimait par les exposants 2,3, ... les puissances secondes, troisièmes, ... d'une grandeur, il exprima ses racines secondes, troisièmes, ... par les exposants fractionnaires 1/2, 1/3, ... En général, il exprima par l'exposant m/n la racine n d'une grandeur élevée à la puissance m. En effet, suivant la notation de Descartes, cette expression a lieu dans le cas où m est divisible par n, et Wallis, par analogie, l'étendit à tous les cas^[2] »

,

« Mais il est remarquable que Wallis, qui avait si bien considéré les indices fractionnaires des puissances radicales, ait continué de noter ces puissances comme on l'avait fait avant lui. On voit la notation des puissances radicales par les exposants fractionnaires employée pour la première fois dans les lettres de Newton à Oldenburg, insérées dans le Commercium epistolicum. En comparant par la voie de l'induction, donc Wallis avait fait un si bel usage, les exposants des puissances du binôme avec les coefficients des termes de son développement, dans le cas où ces exposants sont des nombres entiers, il détermina la loi de ces coefficients, et il l'étendit, par analogie, aux puissances fractionnaires et aux puissances négatives^[2]. »

,

« Mais l'extension la plus importante que cette notation ait reçue est celle des exposants variables, ce qui constitue le Calcul exponentiel, l'une des branches les plus fécondes de l'Analyse moderne. Leibnitz a indiqué le premier, dans les Actes de Leipzig pour 1682, les transcendantes à exposants variables, et par là il a complété le système des éléments dont une fonction finie peut être composée [...]^[2]. »

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« Leibnitz ayant adapté au Calcul différentiel une caractéristique très commode, il imagina de lui donner les mêmes exposants qu'aux grandeurs ; mais alors ces exposants, au lieu d'indiquer les multiplications répétées d'une même grandeur, indiquent les différentiations répétées d'une même fonction^[2]. »

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Notes et références

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