Theoreme de Stone-Weierstrass

Theoreme de Stone-Weierstrass

Théorème de Stone-Weierstrass

Le théorème d'approximation de Weierstrass affirme que toute fonction continue définie sur un compact peut être approchée aussi près que l'on veut par une fonction polynomiale. Parce que les fonctions polynômes sont les fonctions les plus simples, et que les ordinateurs peuvent directement évaluer les polynômes, ce théorème a à la fois un intérêt pratique et théorique. Il a été énoncé par Karl Weierstrass en 1885. Marshall H. Stone a considérablement généralisé le théorème et simplifié la démonstration ; c'est cette amélioration qui s'appelle le théorème de Stone-Weierstrass.

Sommaire

Théorème d'approximation de Weierstrass

Supposons que f soit une fonction continue définie sur l'intervalle [a,b] à valeurs réelles. Pour tout ε>0, il existe une fonction polynôme p à coefficients réels telle que pour tout x dans [a,b], nous ayons |f(x) - p(x)| < ε.

Cette propriété peut également s'exprimer sous la forme suivante : si f est une fonction continue sur [a,b], il existe une suite (Pn) de polynômes convergeant uniformément vers f sur [a,b]. Ci-dessous par exemple, la suite de polynômes converge vers la valeur absolue sur l'intervalle [-1,1].

Suite de polynômes convergeant vers la valeur absolue



En se ramenant par changement de variables à l'intervalle [0,1], Bernstein en a donné une démonstration constructive en prouvant qu'on pouvait prendre :

P_n(x) = \sum_{k=0}^n f\left({k \over n}\right) {n \choose k} x^k (1-x)^{n-k}

Les {n \choose k} x^k (1-x)^{n-k} sont les polynômes de Bernstein.

L'ensemble C([a,b]) des fonctions continues sur [a,b] à valeurs réelles, muni de la norme infinie ||f||=\sup_{x\in [a,b]} |f(x)|, est une algèbre de Banach, (i.e. une algèbre associative et un espace de Banach telle que pour toutes f et g, ||fg|| ≤ ||f|| ||g||). L'ensemble des fonctions polynomiales forme une sous-algèbre de C([a,b]), et le théorème d'approximation de Weierstrass dit que cette sous-algèbre est dense dans C([a,b]).

Version trigonométrique

Pour toute fonction f continue T-périodique, il existe une suite (Tn) de polynômes trigonométriques qui convergent uniformément vers f.

Le théorème de Fejér, issu de la théorie des séries de Fourier, donne un exemple concret d'une telle suite.

Formes plus générales : théorème de Stone-Weierstrass

Le théorème de Stone-Weierstrass, version algébrique

Le théorème d'approximation se généralise dans deux directions : à la place de l'intervalle compact [a,b], un espace séparé ou espace de Hausdorff compact arbitraire X peut être considéré, et à la place de l'algèbre des fonctions polynômes, une approximation avec des éléments d'autres sous-algèbres de C(X) peut être envisagée. La propriété cruciale, que la sous-algèbre doit vérifier, est qu'elle sépare les points : on dit qu'un sous-ensemble A de C(X) sépare les points si pour tout couple de points différents x et y de X et tout couple de nombres réels a et b il existe une fonction p de A telle que p(x) = a et p(y) = b. Formellement le théorème s'écrit :

si X est un espace de Hausdorff compact ayant au moins deux éléments, et si A est une sous-algèbre de l'algèbre de Banach C(X) qui sépare les points et contient une fonction constante non nulle, alors A est dense dans C(X).

Cela généralise le théorème de Weierstrass puisque les polynômes sur [a,b] forment une sous-algèbre de C[a,b] qui sépare les points.

Remarquons que le théorème précédent reste aussi vrai si nous remplaçons l'assertion que A sépare les points avec la légèrement plus faible assertion que pour tout couple de points distincts x et y de X, il existe une fonction p dans A telle que p(x) soit distinct de p(y).

On peut aussi remplacer le corps des nombres réels par le corps des nombres complexes. Dans ce cas, il faut ajouter l'hypothèse supplémentaire que A soit auto-adjointe, c'est-à-dire que g\in A \Rightarrow \bar g\in A.

Applications

Le théorème de Stone-Weierstrass peut être utilisé pour démontrer les deux propositions suivantes :

  • si f est fonction continue à valeurs réelles définie sur le pavé [a,b] x [c,d] et si ε est réel strictement positif, alors il existe une fonction polynomiale p à deux variables telle que pour tous x dans [a,b] et y dans [c,d], |f(x,y) - p(x,y)| < ε.
  • si X et Y sont deux espaces de Hausdorff compacts et si f:X\times Y \rightarrow \mathbb R est une fonction continue, alors pour tout ε>0 il existe n>0 et des fonctions continues f1, f2, ..., fn sur X et des fonctions continues g1, g2, ..., gn sur Y telles que ||f - ∑figi|| < ε

Le théorème de Stone-Weierstrass, version treillis

Soit X un espace de Hausdorff compact. Un sous-ensemble L de C(X) est appelé un treillis de C(X) si pour deux éléments quelconques f, g de L, les fonctions max(f,g) et min(f,g) appartiennent aussi à L. La version treillis du théorème de Stone-Weierstrass affirme que :

si X est un espace de Hausdorff compact avec au moins deux points et si L est un treillis de C(X) qui sépare les points, alors L est dense dans C(X).

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Stone-Weierstrass ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Theoreme de Stone-Weierstrass de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Théorème de stone-weierstrass — Le théorème d approximation de Weierstrass affirme que toute fonction continue définie sur un compact peut être approchée aussi près que l on veut par une fonction polynomiale. Parce que les fonctions polynômes sont les fonctions les plus simples …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Stone-Weierstrass — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Weierstrass. En mathématiques, le théorème de Stone Weierstrass est une généralisation du théorème d approximation de Weierstrass en analyse réelle, selon lequel toute fonction continue définie sur un …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Weierstrass — Théorème de Stone Weierstrass Le théorème d approximation de Weierstrass affirme que toute fonction continue définie sur un compact peut être approchée aussi près que l on veut par une fonction polynomiale. Parce que les fonctions polynômes sont… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Weierstraß — Théorème de Stone Weierstrass Le théorème d approximation de Weierstrass affirme que toute fonction continue définie sur un compact peut être approchée aussi près que l on veut par une fonction polynomiale. Parce que les fonctions polynômes sont… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de weierstrass — Théorème de Stone Weierstrass Le théorème d approximation de Weierstrass affirme que toute fonction continue définie sur un compact peut être approchée aussi près que l on veut par une fonction polynomiale. Parce que les fonctions polynômes sont… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Chudnovsky — Théorème de Chudnovsky Le théorème de Chudnovsky est un théorème qui montre sous certaines conditions qu une fonction continue est limite uniforme de fonctions polynômes à coefficients entiers. C est un raffinement du théorème de Stone… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de chudnovsky — Le théorème de Chudnovsky est un théorème qui montre sous certaines conditions qu une fonction continue est limite uniforme de fonctions polynômes à coefficients entiers. C est un raffinement du théorème de Stone Weierstrass. Enoncé Soit une… …   Wikipédia en Français

  • Weierstrass — Karl Weierstrass Karl Weierstrass Karl Theodor Wilhelm Weierstrass Naissance 31 octobre 1815 Ostenfelde (Westphalie) …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Weierstrass — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Plusieurs théorèmes sont attribués à Karl Weierstrass ou le mentionnent dans leur nom. Théorème de Bolzano Weierstrass Théorème de factorisation de… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Chudnovsky — Le théorème de Chudnovsky est un théorème qui montre sous certaines conditions qu une fonction continue est limite uniforme de fonctions polynômes à coefficients entiers. C est un raffinement du théorème de Stone Weierstrass. Enoncé Soit une… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”