Degré (mathématiques)

Degré (mathématiques)
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Degré.

De manière générale, un degré indique un incrément, une quantité définie qui s'ajoute. On parle des degrés d'une échelle ou d'un escalier pour désigner les barreaux ou les marches (on monte d'une quantité donnée à chaque pas).

Sommaire

Polynômes et fractions

Degré d'un polynôme

À une indéterminée

Soit A un anneau. L'anneau des polynômes à une indéterminée sur A est A[X], soit P un polynôme à coefficients dans A.

Le degré de P, noté deg(P) ou d^\circ(P) est défini par :

  • Si P = 0, \deg(P) = -\infty
  • Sinon, pour P = anXn + an − 1Xn − 1 + ... + a1X + a0, on définit : \deg(P)= \sup \{n \in \N, a_{n} \ne 0 \}

Par exemple, deg(3X5 − 2X4 + 8X − 2) = 5

En plusieurs indéterminées

Soient A un anneau et n \in \N. L'anneau des polynômes à n indéterminées sur A est A[X1,X2,...,Xn]

Le degré du polynôme nul est toujours -\infty.

Sinon on considère l'ensemble des « sommes des exposants des indéterminées » dans chaque terme. Le degré du polynôme est alors le plus grand élément de cet ensemble.

Par exemple : dans A[X,Y],deg(X2Y2 + 3X3 + 4Y) = 4

Degré d'une fraction rationnelle

Soit A un anneau commutatif, unitaire, intègre. Le corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur A est A(X). Soit F \in A(X). Il existe N \in A[X] et D \in A[X] \setminus \{ 0 \} tel que F=\tfrac{N}{D}.

La grandeur \deg(A)-\deg(B) \in \mathbb Z \cup \{-\infty\} est indépendante du représentant \tfrac{N}{D} choisi pour F.

On définit alors deg(F) = deg(A) − deg(B), noté deg(F) ou d^\circ(F).

Propriétés du degré

  • \forall (P,Q) \in (A(X))^2, \deg(P+Q)\leq \sup \{\deg(P) , \deg(Q) \}
  • Si A est intègre, \forall (P,Q) \in (A(X))^2, \deg(PQ)=\deg(P) + \deg(Q)

Graphe et sommet

En théorie des graphes, le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes issues de ce sommet.

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Degré (mathématiques) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Degré (Mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir Degré. De manière générale, un degré indique un incrément, une quantité définie qui s ajoute. On parle des degrés d une échelle ou d un escalier pour désigner les barreaux ou les marches (on monte d une quantité… …   Wikipédia en Français

  • Équation du second degré (mathématiques élémentaires) — Équation du second degré En mathématiques, une équation du second degré, encore appelée équation quadratique se présente sous la forme suivante : les lettres a, b et c désignent des nombres, et a est, par définition, différent de 0. La… …   Wikipédia en Français

  • Équation du premier degré (mathématiques élémentaires) — Équation du premier degré Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités …   Wikipédia en Français

  • Degré d'un polynôme — Degré (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Degré. De manière générale, un degré indique un incrément, une quantité définie qui s ajoute. On parle des degrés d une échelle ou d un escalier pour désigner les barreaux ou les marches (on …   Wikipédia en Français

  • Degré mathématique — Degré (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Degré. De manière générale, un degré indique un incrément, une quantité définie qui s ajoute. On parle des degrés d une échelle ou d un escalier pour désigner les barreaux ou les marches (on …   Wikipédia en Français

  • Mathematiques en Egypte antique — Mathématiques dans l Égypte antique Cet article fait partie de la série Sciences dans l Égypte antique Mathématiques Géométrie Unités de mesure Chiffres Fraction …   Wikipédia en Français

  • Mathématiques En Égypte Antique — Mathématiques dans l Égypte antique Cet article fait partie de la série Sciences dans l Égypte antique Mathématiques Géométrie Unités de mesure Chiffres Fraction …   Wikipédia en Français

  • Mathématiques en Égypte antique — Mathématiques dans l Égypte antique Cet article fait partie de la série Sciences dans l Égypte antique Mathématiques Géométrie Unités de mesure Chiffres Fraction …   Wikipédia en Français

  • Mathématiques en égypte antique — Mathématiques dans l Égypte antique Cet article fait partie de la série Sciences dans l Égypte antique Mathématiques Géométrie Unités de mesure Chiffres Fraction …   Wikipédia en Français

  • Mathématiques en Mésopotamie — Mathématiques babyloniennes Photographie de la tablette YBC 7289 annotée. Les nombres écrits dans le système babylonien donnent la racine carrée de 2 avec quatre chiffres sexagésimaux significatifs, soit près de six chiffres décimaux : 1 +… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”