Constante de Gauss

Constante de Gauss

En mathématiques, la constante de Gauss, notée G, est l'inverse de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et de la racine carrée de deux :

 G = \frac{1}{M(1, \sqrt{2})} \simeq 0,8346268

Cette constante porte le nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss car il a découvert en 1799[réf. nécessaire] que :

 G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}}

soit:

 G = \frac{2}{\pi}\mathrm{\Beta}\left( \frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)

Β est la fonction bêta.

Sommaire

Relation avec d'autres constantes

La constante de Gauss peut être exprimée grâce à la valeur de la fonction gamma en 1/4 :

 \Gamma\left(\frac{1}{4}\right) = \sqrt{ 2\pi G \sqrt{ 2\pi } }

et puisque π et Γ(1/4) sont algébriquement indépendants, la constante de Gauss est transcendante.

Constantes de la lemniscate

La constante de Gauss peut être utilisée dans la définition des constantes de la lemniscate, la première étant :

 L_1\;=\;\pi G

et la seconde :

 L_2\,\,=\,\,\frac{1}{2G}

qui interviennent dans le calcul de la longueur d'arc d'une lemniscate.

Autre formule

La constante de Gauss peut également s'exprimer grâce à la fonction thêta de Jacobi :

G = \vartheta_{01}^2(e^{-\pi})

Une série rapidement convergente vers la constante de Gauss est :

G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^{\infty} (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2.

La constante est aussi donnée par un produit infini :

G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \left( \frac{\pi m}{2}\right).

La constante de Gauss a pour fraction continue [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, ...].

Références


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Constante de Gauss de Wikipédia en français (auteurs)

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