Cercle De Mohr

Cercle De Mohr

Cercle de Mohr

Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Tricercle de Mohr.

Le cercle de Mohr est une représentation graphique des états de contrainte à deux dimensions, proposée par Christian Otto Mohr en 1882.

Dans un graphique où l'axe horizontal représente l'amplitude de la contrainte normale et l'axe vertical représente l'amplitude de la contrainte de cisaillement, le cercle de Mohr est le lieu des états de contrainte en un point P lorsque le plan de coupe tourne autour du point P. Il s'agit d'un cercle centré sur l'axe horizontal dont les intersections avec l'axe horizontal correspondent aux deux contraintes principales au point P.

Ce cercle se construit à partir de la connaissance des efforts extérieurs auxquelles est soumise la pièce. Il permet de déterminer :

  • les directions principales (\vec{x}_1, \vec{x}_2, \vec{x}_3), ainsi que les contraintes principales σ1, σ2 et σ3 ;
  • la direction pour laquelle on a la cission τ maximale, qui est donc la direction de rupture probable (l'orientation du faciès de rupture), ainsi que la valeur de cette contrainte.

Sommaire

Problématique

La rupture d'un matériau ductile — c'est le cas de la plupart des métaux à température ambiante pour des vitesses de déformation modérées — se fait toujours en cisaillement : l'effort nécessaire pour « arracher » les atomes est beaucoup plus important que celui nécessaire pour faire glisser les atomes les uns sur les autres (voir Déformation plastique). Pour une sollicitation donnée d'une pièce, il faut donc savoir dans quelle section la cission τ (tau) est maximale.

Construction du cercle de Mohr dans le cas de la traction simple

Prenons le cas de la traction simple, ou traction uniaxiale. On sait que lors de cet essai, le faciès de rupture va s'amorcer en faisant une direction de 45 ° par rapport à l'axe de l'éprouvette. Si l'on considère une section droite de l'éprouvette, celle-ci a une aire S0 ; la force F que l'on applique est normale à cette section, on a donc une contrainte normale σ0 qui vaut

\sigma_0 = \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{S}_0}

et un cisaillement nul.

Considérons une section inclinée ; elle a une aire S1. si l'on projette la force \vec{\mathrm{F}} sur la normale \vec{n} à cette section, on obtient une force normale \vec{\mathrm{N}}_1. La contrainte normale σ1 vaut alors

\sigma_1 = \frac{\mathrm{N}_1}{\mathrm{S}_1}.

Si l'on projette \vec{\mathrm{F}} sur la section, on obtient une force \vec{\mathrm{T}}_1. La cission τ1 vaut alors

\tau_1 = \frac{\mathrm{T}_1}{\mathrm{S}_1}.

Plus la section est inclinée, plus T est grand, mais plus S est grand. La fraction τ = T/S présente un maximum pour une section située à 45 °, ce qui explique le faciès de rupture.

Si maintenant on trace τ = ƒ(σ), on voit que l'on obtient un cercle, le cercle de Mohr.

Cet exemple est repris ci-après de manière calculatoire.

Sollicitations axiales

Nous étudions ci-après le cas où l'on exerce une traction ou une compression selon les axes x, y et/ou z.

Sollicitation uniaxiale

État d'équilibre uniaxial

On réalise un essai de traction uniaxiale sur une éprouvette de laquelle on va extraire en un point P une plaquette infiniment petite soumise à un effort uniformément réparti \mathrm{d}\vec{\mathrm{F}} sur une surface \mathrm{d}\vec{\mathrm{S}} orientée suivant l'axe \vec{x}. À l'équilibre, la surface opposée (orientée suivant l'axe -\vec{x}) est soumise à un effort -\mathrm{d}\vec{\mathrm{F}}. Cet état est schématisé sur la figure ci-contre.

On notera \vec{\sigma}_{(\mathrm{P},\vec{x})}=\frac{\mathrm{d}\vec{\mathrm{F}}}{\mathrm{d}\vec{\mathrm{S}}} la contrainte au point P due à l'effort \mathrm{d}\vec{\mathrm{F}} sur la surface \mathrm{d}\vec{\mathrm{S}} dans la direction \vec{x}. On notera son module \sigma_x=\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{dS}}. De la même manière le module de \vec{\sigma}_{(\mathrm{P},\vec{y})} : σy = 0.

On remarquera que le cisaillement est nul sur les deux surfaces considérées, les directions \vec{x}, \vec{y} sont donc principales et σx , σy sont les valeurs des contraintes principales.

État de contraintes sur une face orientée par \vec{n}_1

On détermine maintenant l'état de contrainte sur une face qui aurait tourné de α comme représenté sur le schéma ci-contre.

On a les contraintes suivantes :


        \overrightarrow{\sigma}(\mathrm{P},\overrightarrow{n_1})=
                \begin{cases}
                \sigma_{\overrightarrow{n1}} = \dfrac{\mathrm{dF} \cos \alpha}{\dfrac{\mathrm{dS}}{\cos \alpha}}=\sigma_x \cos^2 \alpha\\
\\
                \tau_{\overrightarrow{n1}} = \dfrac{-\mathrm{dF} \sin \alpha}{\dfrac{\mathrm{dS}}{\cos \alpha}}=\sigma_x \sin \alpha \cos \alpha = -\dfrac{1}{2} \sigma_x \sin 2 \alpha
                \end{cases}

Cercle de Mohr de la traction pure

C'est l'équation d'un cercle de centre \left ( \frac{\sigma_x}{2}, 0 \right ) et de diamètre σx. Lorsque l'on tourne de -2α sur le cercle, on tourne de α dans la matière. On a la représentation ci-contre.

On observe que le cisaillement est maximal : \tau = \pm \frac{\sigma_x}{2} suivant des direction à ±45 °, ce qui justifie les observations.

Sollicitation biaxiale

Sollicitation triaxiale

Dans ce cas la représentation ne présente pas un grand intérêt car les lieux du vecteur contrainte ne sont plus sur un cercle mais sur la surface délimitée par l'intersection des cercles.

Essais

Compression sur béton

Ci après la photo d'un essai de compression sur béton mettant en évidence le cône de rupture approximativement à 45°.

Essai de traction sur métal ductile

Aluminium

Ci après la photo d'un essai de traction sur une barre d'aluminium (diamètre 8 mm) .La rupture suivant une ligne à 45° est parfaitement illustrée.

Rupture d'une éprouvette en aluminium de 8 mm de diamètre

Acier

Ci après la photo d'un essai de traction sur une éprouvette d'acier de section rectangulaire 10x3 mm. On remarquera les lignes à +/- 45° au voisinage de la zone rompue et les nombreuses facettes elles aussi à 45°.

Rupture d'une éprouvette en acier de section rectangulaire 10x3 mm

Applications : jauge de déformation

Dépouillement d'une « rosette » à 45°.

Autres cercles de Mohr

De manière analogue, on peut tracer :

  • un cercle de Mohr des déformations ;
  • dans le cadre de la théorie des plaques, un cercle de Mohr des moments.

Cercle de Mohr des déformations

On obtient le cercle de Mohr des déformations en traçant le diagramme (εii , εij)ij , ou si l'on préfère utiliser l'écart à l'angle droit γij , le diagramme (εii , ½γij)ij .

Cercle de Mohr des moments

Plaque fléchie par une distribution uniforme de moments sur ses côtés
Coupe selon un plan faisant apparaître un moment de torsion

Considérons une plaque mince rectangulaire, subissant un moment réparti uniformément Mx le long de son côté parallèle à l'axe x et My le long de son côté parallèle à l'axe y. Ces moments densités linéaires de moments sont en newtons (Nm/m). Ce sont des moments fléchissants (ils créent une flexion).

Si l'on fait une coupe selon un plan faisant un angle α, on voit que sur cette face subit un moment fléchissant, qui courbent la face, et un moment de torsion qui l'incline. En écrivant l'équilibre de cette portion de plaque, on voit que le moment s'exerçant sur la face de coupe peut se décomposer en un vecteur moment normal mnn , qui crée la torsion (la section tourne dans le plan), et un vecteur moment tangentiel mnt qui crée la flexion (la plaque se courbe). On se retrouve dans une situation similaire à celui des contraintes normales et tangentielles.

On peut ainsi tracer un diagramme (mnn , mnt ) et l'on obtient un cercle. Les intersections de ce cercle avec l'axe mn donne les sections principales, c'est-à-dire les sections sur lesquelles le moment de torsion est nul.

[Théorie des plaques élastiques, département Architecture, géologie, environnement & constructions de l'Université de Liège]

Voir aussi

Articles connexes

  • Portail de la physique Portail de la physique
Ce document provient de « Cercle de Mohr ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Cercle De Mohr de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Cercle de mohr —  Ne doit pas être confondu avec Tricercle de Mohr. Le cercle de Mohr est une représentation graphique des états de contrainte à deux dimensions, proposée par Christian Otto Mohr en 1882. Dans un graphique où l axe horizontal représente l… …   Wikipédia en Français

  • Cercle de Mohr —  Ne doit pas être confondu avec Tricercle de Mohr. Le cercle de Mohr est une représentation graphique des états de contrainte à deux dimensions, proposée par Christian Otto Mohr en 1882. Dans un graphique où l axe horizontal représente l… …   Wikipédia en Français

  • Cercle De Mohr (Temporaire) — Cercle de Mohr  Ne doit pas être confondu avec Tricercle de Mohr. Le cercle de Mohr est une représentation graphique des états de contrainte à deux dimensions, proposée par Christian Otto Mohr en 1882. Dans un graphique où l axe horizontal… …   Wikipédia en Français

  • Cercle de Mohr (temporaire) — Cercle de Mohr  Ne doit pas être confondu avec Tricercle de Mohr. Le cercle de Mohr est une représentation graphique des états de contrainte à deux dimensions, proposée par Christian Otto Mohr en 1882. Dans un graphique où l axe horizontal… …   Wikipédia en Français

  • Cercle de mohr (temporaire) — Cercle de Mohr  Ne doit pas être confondu avec Tricercle de Mohr. Le cercle de Mohr est une représentation graphique des états de contrainte à deux dimensions, proposée par Christian Otto Mohr en 1882. Dans un graphique où l axe horizontal… …   Wikipédia en Français

  • Mohr — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Personnalités Le nom de Mohr est porté par plusieurs personnalités (par ordre alphabétique) : Charles Theodor Mohr (1824 1901), botaniste allemand.… …   Wikipédia en Français

  • Christian Otto Mohr — Naissance (8 octobre 1835 Wesselburen (duché de Holstein) Décès 2 octobre 1918 Dresde (Empire allemand) …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Mohr-Mascheroni — En géométrie classique plane, le théorème de Mohr Mascheroni, démontré par Georg Mohr en 1672 et par Lorenzo Mascheroni en 1797, affirme que si une construction géométrique est possible à la règle et au compas, alors elle est possible au compas… …   Wikipédia en Français

  • Tricercle de Mohr — Arbelos L arbelos (ou tricercle de Mohr, du nom du mathématicien danois Georg Mohr) est une figure géométrique plane étudiée, entre autres, par Archimède ( 287 212, Syracuse). Le terme « arbelos » signifie couteau du savetier. Sommaire …   Wikipédia en Français

  • Contrainte de Tresca — Critère de plasticité Un critère de plasticité, ou critère d écoulement plastique, est un critère permettant de savoir, sous des sollicitations données, si une pièce se déforme plastiquement ou si elle reste dans le domaine élastique. De nombreux …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”