Théorème de Davenport-Cassels

Théorème de Davenport-Cassels

Le théorème de Davenport-Cassels (en) est un résultat sur les représentations rationnelles ou entières des formes quadratiques à coefficients entiers. Il est plus connu pour son corollaire en arithmétique concernant les entiers s'écrivant comme somme de deux carrés ou trois carrés.

Sommaire

Énoncé général

Théorème de Davenport-Cassels — Soit \scriptstyle q une forme quadratique à coefficients entiers de dimension \scriptstyle n telle que \scriptstyle q(x_1, \cdots, x_n)=\sum_{i,j}a_{ij}x_ix_j avec pour tout \scriptstyle i et \scriptstyle j, \scriptstyle a_{ij}=a_{ji}. Si, pour tout n-uplet \scriptstyle x de rationnels non tous entiers, il existe un n-uplet \scriptstyle a d'entiers tel que \scriptstyle 0<|q(x-a)|<1 alors tout entier \scriptstyle N possédant un représentant rationnel possède aussi un représentant entier. C'est-à-dire : pour tout entier \scriptstyle N, s'il existe un n-uplet \scriptstyle x de rationnels tel que \scriptstyle q(x)=N, il existe aussi un n-uplet \scriptstyle a d'entiers tels que \scriptstyle q(a)=N.

La démonstration peut se faire par descente infinie sur la taille du dénominateur commun des \scriptstyle x_i[1].

Une variante plus répandue de cet énoncé se limite au cas où la forme quadratique est définie positive. Dans ce cas, le fait qu'elle soit définie permet de reformuler l'hypothèse plus simplement en : « Si, pour tout n-uplet \scriptstyle x de rationnels, il existe un n-uplet \scriptstyle a d'entiers tel que \scriptstyle |q(x-a)|<1 alors ... » [2].

Somme de deux ou trois carrés

Le théorème de Davenport-Cassels a pour conséquence le théorème suivant :

Théorème — Si un entier naturel est somme de deux (respectivement trois) carrés de nombres rationnels, il est aussi somme de deux (respectivement trois) carrés d'entiers.

D'après André Weil[3], Fermat, dans une lettre de Mersenne du 15 juillet 1636, affirme avoir prouvé ce résultat mais dans une autre lettre du 2 septembre de la même année, il reconnaît que sa preuve doit encore être travaillée. En 1912, une preuve de ce théorème est donnée par L. Aubry[4]. Le théorème de Davenport-Cassels, postérieur à cette publication permet aussi d'en donner une preuve.

En effet, le carré de la distance usuelle sur \scriptstyle \Q^2 ou \scriptstyle \Q^3 est une forme quadratique vérifiant les conditions du théorème de Davenport-Cassels. Pour s'en convaincre, il suffit d'observer que, pour tout rationnel \scriptstyle x_i, il existe un entier \scriptstyle a_i tel que \scriptstyle |x_i-a_i|\le 1/2. Ainsi, pour tout couple (resp. triplet) \scriptstyle x de rationnels, il existe un couple (resp. triplet) \scriptstyle a d'entiers tel que \scriptstyle d^2(x,a) = \sum_{i=1}^{2}|x_i-a_i|^2 \le \frac 14+\frac 14 < 1 (resp. \scriptstyle d^2(x,a) = \sum_{i=1}^{3}|x_i-a_i|^2 \le \frac 14+\frac 14 +\frac 14 < 1) .

Le théorème de Davenport-Cassels permet alors d'affirmer que, pour tout entier \scriptstyle N, s'il existe un couple \scriptstyle (x_1,x_2) (respectivement un triplet \scriptstyle (x_1,x_2,x_3)) de rationnels tel que \scriptstyle x_1^2+x_2^2=N (respectivement \scriptstyle x_1^2+x_2^2+ x_3^2=N), il existe aussi un un couple \scriptstyle (a_1,a_2) (respectivement un triplet \scriptstyle (a_1,a_2,a_3)) d'entiers tel que \scriptstyle a_1^2+a_2^2=N (respectivement \scriptstyle a_1^2+a_2^2+ a_3^2=N).

Notes et références

  1. ↑ Pour une démonstration voir (en) André Weil, Number Theory: An Approach through History, from Hammurapi to Legendre [détail des éditions], ou bien (en) Pete L. Clark Representations of integers by quadratic forms
  2. ↑ Pour une démonstration de cette variante voir Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions], ou bien Eva Bayer-Fluckiger (de), Théorie algébrique des formes quadratiques
  3. ↑ (en) André Weil, Number Theory: An Approach through History, from Hammurapi to Legendre [détail des éditions], p 292
  4. ↑ (en) Book review, Paulo Ribenboim, Number theory, an approach through history from Hammurapi to Legendre, by André Weil

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Davenport-Cassels de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Harold Davenport — Pour les articles homonymes, voir Davenport. Harold Davenport Harold Davenport en 1968 Naissance 30  …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Méthode de descente infinie — La méthode de descente infinie est un argument mathématique voisin de la démonstration par récurrence, mais aussi de la démonstration par l absurde, qui utilise le fait qu une suite d entiers naturels strictement décroissante est nécessairement… …   Wikipédia en Français

  • Louis Mordell — Louis Joel Mordell est un mathématicien américano britannique, né le 28 janvier 1888 à Philadelphie et mort le 12 mars 1972 à Cambridge. Pionnier par ses recherches en théorie des nombres, il est un spécialiste reconnu des équations… …   Wikipédia en Français

  • Georg Cantor — Pour les articles homonymes, voir Cantor. Georg Cantor Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor Naissance 3  …   Wikipédia en Français

  • Klaus Roth — Pour les articles homonymes, voir Roth. Klaus Friedrich Roth (29 octobre 1925 à Breslau ) est un mathématicien britannique connu pour son travail sur l approximation diophantienne, le grand crible (en) et les irrégularités de… …   Wikipédia en Français

  • Edward Charles Titchmarsh — Naissance 1er juin 1899 Newbury (Berkshire) (Angleterre) Décès 18 janvier 1963 (à 63 ans) Oxford (Angleterre) Nationalité …   Wikipédia en Français

  • Godfrey Harold Hardy — Pour les articles homonymes, voir Hardy. Godfrey Harold Hardy Godfrey Harold Hardy Naissance 7 …   Wikipédia en Français

  • John Edensor Littlewood — (Rochester (Kent), 9 juin 1885 – Cambridge, 6 septembre 1977) est un mathématicien anglais. Littlewood a fait ses études au Trinity College (Cambridge) et a été senior wrangler au Tripos de 1905. Il a surtout travaillé en analyse et en théorie… …   Wikipédia en Français

  • Gaston Darboux — Naissance 14 août 1842 Nîmes (France) Décès 23 février 1917 (à 74 ans) …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”