Prébase

Prébase

En mathématiques, plus précisément en topologie, une prébase d'un espace topologique (X, T) est un ensemble de parties de X qui engendre la topologie T, c'est-à-dire tel que T soit la plus petite topologie sur X pour laquelle toutes ces parties sont des ouverts. Toute base est une prébase. Une prébase n'est pas toujours une base, mais permet d'en construire une.

Sommaire

Topologie engendrée

Soient X un ensemble et A un ensemble de parties de X.

Il existe des topologies sur X qui contiennent A (ne serait-ce que la topologie discrète). Parmi elles, il en existe une "moins fine que" (i.e. "plus petite que", au sens : "incluse dans") toutes les autres. En effet, toute intersection de topologies sur X est une topologie sur X ; il suffit donc de faire l'intersection de toutes les topologies sur X contenant A.

On l'appelle la topologie sur X engendrée par A .

On vient de la construire "de l'extérieur". On peut aussi la construire "de l'intérieur", en deux étapes. Dans un premier temps, on complète A en formant l'ensemble B de toutes les intersections finies d'éléments de A. Alors, B est la base d'une topologie, qui n'est autre que celle engendrée par A.

En clair, une partie de X est ouverte pour la topologie engendrée par A si et seulement si elle est réunion d'intersections finies d'éléments de A.

Prébase

Soient X un ensemble, A un ensemble de parties de X, et T une topologie sur X.

On dit que A est une prébase de T si la topologie sur X engendrée par A est égale à T.

Propriété

La caractérisation de la continuité d'une application f : XY (où X, Y désignent deux espaces topologique) se simplifie si l'on dispose d'une prébase A de la topologie sur Y (autrement dit : si la topologie sur Y est celle engendrée par A) :

f est alors continue si (et seulement si) pour tout élément U de la prébase A, f−1(U) est un ouvert de X.

Exemples

  • Pour la topologie de la droite réelle, les demi-droites ouvertes, c'est-à-dire les intervalles de la forme ]-∞,a[ ou de la forme ]a,+∞[ où a est un nombre réel, forment une prébase (on peut même se contenter des a rationnels).
  • Si (X,≤) est un ensemble ordonné, divers choix de prébases permettent de définir différentes topologies de l'ordre sur X.
  • Soit X un ensemble. Pour une famille d'applications fi : XYi, chaque Yi désignant un espace topologique, une prébase de la topologie initiale sur X associée est constituée de toutes les parties de X de la forme fi−1(U), où l'indice i prend toutes les valeurs possibles et où U est un ouvert arbitraire de l'espace Yi correspondant. D'après la propriété précédente, c'est donc la topologie sur X la moins fine pour laquelle toutes les fi sont continues. (Deux cas particuliers importants de topologie initiale sont la topologie produit et la topologie induite.)

Référence

Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique, Topologie générale, chapitres 1 à 4


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Prébase de Wikipédia en français (auteurs)

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