Déconvolution de Wiener

Déconvolution de Wiener
De gauche à droite: image d'origine, image floue, l'image défloutée (partiellement) par déconvolution de Wiener.

La déconvolution de Wiener est une opération mathématique appliquant un filtre de Wiener pour éliminer ou atténuer une partie des bruits dans un signal. Elle opère dans le domaine fréquentiel en essayant de minimiser l'impact du bruit là où le rapport signal/bruit est mauvais.

Cette méthode convient non seulement au son, mais aux images, car le spectre de fréquence de la plupart des images visuelles est souvent bien conditionné et peut être estimé facilement.

Elle tient son nom du mathématicien Norbert Wiener.

Sommaire

Définition

Étant donné un système :

\ y(t) = h(t)*x(t) + v(t)

* désigne la convolution et :

  • \ x(t) est une signal d'entrée (inconnue) à temps t.
  • \ h(t) est la réponse impulsionnelle connue d'un invariant dans le temps système linéaire.
  • \ v(t) est certains additifs bruit inconnu, indépendante de \ x(t).
  • \ y(t) est notre signal observé.

Notre objectif est de trouver un \ g(t) de sorte que nous pouvons estimer \ x(t) comme suit :

\ \hat{x}(t) = g(t)*y(t)

\ \hat{x}(t) est une estimation de \ x(t) qui minimise l'erreur quadratique moyenne.

Le filtre de Wiener fournit une telle \ g(t) . Le filtre est plus facile à décrire dans le domaine fréquentiel:

\ G(f) = \frac{H^*(f)S(f)}{ |H(f)|^2 S(f) + N(f) }

Où :

  • \ G(f) et \ H(f) sont les transformées de Fourier de \ g et \ h, respectivement à la fréquence \ f.
  • \ S(f) est la densité spectrale de puissance moyenne du signal d'entrée \ x(t).
  • \ N(f) est la densité spectrale de puissance moyenne du bruit \ v(t)
  • l'exposant * désigne la conjugaison complexe.

L'opération de filtrage peut être soit réalisée dans le domaine temporel, comme ci-dessus, ou dans le domaine fréquentiel:

\ \hat{X}(f) = G(f)Y(f)

\ \hat{X}(f) est la transformée de Fourier de \hat{x}(t) ). Il suffit ensuite de prendre la transformée de Fourier inverse de \ \hat{X}(f) pour obtenir \ \hat{x}(t) .

Ceci est applicable au cas des images, en remplaçant les variables \ t et \ f par leur équivalent en deux dimensions.

Interprétation

Le fonctionnement du filtre de Wiener devient évident lorsque l'équation de filtre ci-dessus se réécrit :

 \begin{align} G(f) & = \frac{1}{H(f)} \left[ \frac{ |H(f)|^2 }{ |H(f)|^2 + \frac{N(f)}{S(f)} } \right] \\ & = \frac{1}{H(f)} \left[ \frac{ |H(f)|^2 }{ |H(f)|^2 + \frac{1}{\mathrm{SNR}(f)}} \right] \end{align}

Ici, \ 1/H(f) est l'inverse du système d'origine, et \ \mathrm{SNR}(f) = S(f)/N(f) est le rapport signal sur bruit. Quand le bruit est négligeable, le terme entre les crochets est égale à 1, ce qui signifie que le filtre de Wiener est simplement l'inverse du système, comme on pouvait s'y attendre. Toutefois, comme le bruit augmente à certaines fréquences, le rapport signal sur bruit diminue, de sorte que le terme entre crochets diminue également. Cela signifie que le filtre de Wiener atténue les fréquences en fonction de leur rapport signal sur bruit.

L'équation de filtre de Wiener ci-dessus nécessite de connaître le contenu spectral d'une image typique, et celui du bruit. Souvent, nous n'avons pas accès à ces quantités exactes, mais on peut être dans une situation où de bonnes estimations peuvent être faites. Par exemple, dans le cas d'images photographiques, le signal (l'image d'origine) a généralement une forte fréquences basses et hautes fréquences faibles, et dans de nombreux cas le contenu de bruit sera relativement plat avec la fréquence.

Dérivation

Comme mentionné ci-dessus, nous cherchons une estimation du signal d'origine qui minimise l'erreur quadratique moyenne, laquelle peut s'exprimer de la façon suivante :

\ \epsilon(f) = \mathbb{E} \left| X(f) - \hat{X}(f) \right|^2

\ \mathbb{E} désigne l'espérance.

Si nous substituons \ \hat{X}(f) par l'expression obtenue précédemment, on obtient :

 \begin{align} \epsilon(f) & = \mathbb{E} \left| X(f) - G(f)Y(f) \right|^2 \\ & = \mathbb{E} \left| X(f) - G(f) \left[ H(f)X(f) + V(f) \right] \right|^2 \\ & = \mathbb{E} \big| \left[ 1 - G(f)H(f) \right] X(f) - G(f)V(f) \big|^2 \end{align}

d'où :

 \begin{align} \epsilon(f) & = \Big[ 1-G(f)H(f) \Big] \Big[ 1-G(f)H(f) \Big]^*\, \mathbb{E}|X(f)|^2 \\ & {} + \Big[ 1-G(f)H(f) \Big] G^*(f)\, \mathbb{E}\Big\{X(f)V^*(f)\Big\} \\ & {} + G(f) \Big[ 1-G(f)H(f) \Big]^*\, \mathbb{E}\Big\{V(f)X^*(f)\Big\} \\ & {} + G(f) G^*(f)\, \mathbb{E}|V(f)|^2 \end{align}

Cependant, nous supposons que le bruit est indépendant du signal, donc :

\ \mathbb{E}\Big\{X(f)V^*(f)\Big\} = \mathbb{E}\Big\{V(f)X^*(f)\Big\} = 0

Aussi, nous définissons la densité spectrale de puissance comme suit:

\begin{align} S(f) &= \mathbb{E}|X(f)|^2 \\ N(f) &= \mathbb{E}|V(f)|^2 \end{align}

Par conséquent, on obtient :

 \epsilon(f) = \Big[ 1-G(f)H(f) \Big]\Big[ 1-G(f)H(f) \Big]^* S(f) + G(f)G^*(f)N(f)

Pour connaître la valeur minimale pour les erreurs, nous cherchons à annuler la dérivée par rapport à \ G(f). Comme il s'agit d'une valeur complexe, \ G^*(f) agit comme une constante.

\ \frac{d\epsilon(f)}{dG(f)} = G^*(f)N(f) - H(f)\Big[1 - G(f)H(f)\Big]^* S(f) = 0

Cette égalité finale peut être réarrangée pour donner le filtre de Wiener.

Articles connexes

Références

  • Rafael Gonzalez, Richard Woods, et Eddins Steven. Traitement numérique des images en utilisant MATLAB. Prentice Hall, 2003.

Liens externes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Déconvolution de Wiener de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Deconvolution — In mathematics, deconvolution is an algorithm based process used to reverse the effects of convolution on recorded data.[1] The concept of deconvolution is widely used in the techniques of signal processing and image processing. Because these… …   Wikipedia

  • Wiener deconvolution — In mathematics, Wiener deconvolution is an application of the Wiener filter to the noise problems inherent in deconvolution. It works in the frequency domain, attempting to minimize the impact of deconvoluted noise at frequencies which have a… …   Wikipedia

  • Wiener filter — In signal processing, the Wiener filter is a filter proposed by Norbert Wiener during the 1940s and published in 1949.ref|Wiener1949 Its purpose is to reduce the amount of noise present in a signal by comparison with an estimation of the desired… …   Wikipedia

  • Déconvolution — En mathematiques, la déconvolution est un procédé algorithmique destiné à inverser les effets de la convolution. Le concept de déconvolution est largement utilisé en traitement du signal et traitement d image, notamment en microscopie et… …   Wikipédia en Français

  • Deconvolution — Dekonvolution Mit Dekonvolution (dt. »Entfaltung«) bezeichnet man die Umkehrung der sog. Faltungsoperation. Dabei handelt es sich um eine mathematische Transformation, die unter Anderem in der Signal und Bildverarbeitung Anwendung findet. Eine… …   Deutsch Wikipedia

  • Blind deconvolution — In applied mathematics, blind deconvolution is a deconvolution technique that permits recovery of the target object from set of blurred images in the presence of a poorly determined or unknown point spread function (PSF). Regular linear and non… …   Wikipedia

  • Flou cinétique — Manège en mouvement lors de la prise de vue Le terme flou cinétique (ou flou de mouvement) désigne le flou visible sur une photographie ou dans une animation, dû au mouvement rapide du sujet photographié pendant l enregistrement ou à un long… …   Wikipédia en Français

  • Comparison of image processing software — The following table provides a comparison of image processing software. Functionality Matlab*[1] Mathematica[2] imageJ FIJI (software) Population Extract alpha channel No …   Wikipedia

  • Rückfaltung — Dekonvolution Mit Dekonvolution (dt. »Entfaltung«) bezeichnet man die Umkehrung der sog. Faltungsoperation. Dabei handelt es sich um eine mathematische Transformation, die unter Anderem in der Signal und Bildverarbeitung Anwendung findet. Eine… …   Deutsch Wikipedia

  • List of mathematics articles (W) — NOTOC Wad Wadge hierarchy Wagstaff prime Wald test Wald Wolfowitz runs test Wald s equation Waldhausen category Wall Sun Sun prime Wallenius noncentral hypergeometric distribution Wallis product Wallman compactification Wallpaper group Walrasian… …   Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”