Complément d'un sous-groupe

Complément d'un sous-groupe

Sommaire

Définition

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, on dit[1] qu'étant donné un sous-groupe H d'un groupe G, un sous-groupe K de G est un complément de H dans G si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

1) \ HK = G;
2) H \cap K = 1.

(où 1 désigne le sous-groupe de G réduit à l'élément neutre).

Par exemple en passant aux inverses, on vérifie facilement que la condition 1) équivaut à KH = G; d'autre part, il est clair que la condition 2) équivaut à K \cap H = 1. Dès lors, dire que H est un complément de K revient à dire que K est un complément de H. Cela revient encore à dire que tout élément de G peut se mettre d'une et une seule façon sous la forme hk, avec h dans H et k dans K.

Si H et K sont compléments l'un de l'autre dans G, la formule du produit (théorie des groupes) donne

\ \vert G \vert = \vert H\vert \cdot \vert K \vert .


Exemples et contre-exemples

  • Soient G un groupe fini, H et K deux sous-groupes de G dont les ordres \vert H \vert et \vert K \vert sont premiers entre eux et tels que \vert H \vert \cdot \vert K \vert = \vert G \vert ; alors H et K sont compléments l'un de l'autre dans G. En effet, H \cap K est sous-groupe de H et de K, donc son ordre \vert H \cap K \vert divise les ordres de H et de K; puisque ces deux derniers ordres sont premiers entre eux, \vert H \cap K \vert est donc égal à 1, donc la condition 2) de la définition est satisfaite. D'autre part, d'après la formule du produit (théorie des groupes), l'ensemble HK a pour cardinal
\frac{\vert H\vert \cdot \vert K \vert}{\vert H \cap K \vert} = \vert G \vert,

donc la condition 1) de la définition est elle aussi satisfaite.

  • Si un groupe G est produit semi-direct d'un sous-groupe H par un sous-groupe K, H et K sont des compléments l'un de l'autre dans G. C'est le cas en particulier si G est produit direct de H et de K.
  • Si p désigne un nombre premier et n un nombre naturel, l'ensemble des sous-groupes du groupe cyclique Z/pnZ est totalement ordonné par inclusion. Il en résulte qu'aucun sous-groupe propre et non nul de Z/pnZ n'a de complément dans Z/pnZ.
  • Plus généralement, si G est un groupe cyclique (nous prendrons ici cette expression au sens de groupe monogène fini), un sous-groupe H de G admet un complément dans G si et seulement si c'est un sous-groupe de Hall de G (c'est-à-dire si \ \vert H \vert et \ \vert G/H \vert sont premiers entre eux).
Démonstration

Prouvons d'abord que si un sous-groupe H du groupe cyclique G n'est pas un sous-groupe de Hall de G, H n'a pas de complément dans G. Supposons que, par absurde, H ait un complément K dans G. D'après une remarque faite plus haut, \ \vert G \vert = \vert H\vert \cdot \vert K \vert , donc \ \vert K \vert = \vert G \vert / \vert H \vert = \vert G/H \vert . Puisque H est supposé ne pas être un sous-groupe de Hall de G, il existe donc un nombre premier p qui divise à la fois <math<\ \vert H \vert </math> et <math<\ \vert K \vert </math>. Par exemple d'après le théorème de Cauchy (ou encore parce que H et K sont cycliques et que, pour tout diviseur d de l'ordre d'un groupe cyclique, ce groupe admet un sous-groupe d'ordre d), H admet un sous-groupe PH d'ordre p et K admet un sous-groupe PK d'ordre p. Le groupe G, étant cyclique, admet au plus un sous-groupe d'un ordre donné, donc PH et PK sont égaux, donc \ P_{H} \subseteq H \cap K, donc H et K ne sont pas complémentaires,

Prouvons maintenant que si H est un sous-groupe de Hall du groupe cyclique G, H admet un complément dans G (ce qui est d'ailleurs un cas particulier d'un théorème de Philip Hall). Puisque G est cyclique, il admet un sous-groupe d'ordre d pour tout diviseur d de son ordre, donc il admet un sous-groupe K d'ordre \ \vert G \vert / \vert H \vert . Puisque H est supposé être un sous-groupe de Hall de G, les ordres de H et de K sont premiers entre eux. D'autre part, ces ordres ont pour produit l'ordre de G, donc, d'après le premier exemple, H et K sont compléments l'un de l'autre dans G.

Puisqu'un groupe cyclique admet au plus un sous-groupe d'un ordre donné, le complément de H est unique dans ce cas.

  • Un sous-groupe propre et non nul du groupe additif \ \mathbb{Q}, + des nombres rationnels n'a pas de complément dans \ \mathbb{Q}, +. (En effet, deux sous-groupes non nuls de \ \mathbb{Q}, + ont toujours un élément non nul en commun, car si a/b est un élément du premier et c/d un élément du second, avec a, b, c et d entiers rationnels non nuls, ac appartient aux deux sous-groupes.)

Notes et références

  1. ↑ Voir par exemple W.R. Scott, Group Theory, réimpr. Dover 1987, p. 137.

Articles connexes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Complément d'un sous-groupe de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Sous-groupe de Hall — En théorie des groupes (une branche des mathématiques), les sous groupes de Hall d un groupe fini sont les sous groupes dont l ordre et l indice sont premiers entre eux. Ils portent le nom du mathématicien Philip Hall (en). Sommaire 1… …   Wikipédia en Français

  • Groupe De Frobenius — En mathématiques, un groupe de Frobenius est un groupe de permutation transitif sur un ensemble fini, tel qu aucun élément non trivial ne fixe plus d un point et tel qu un certain élément fixe un point. Ils ont été nommés en l honneur de F. G.… …   Wikipédia en Français

  • Groupe de frobenius — En mathématiques, un groupe de Frobenius est un groupe de permutation transitif sur un ensemble fini, tel qu aucun élément non trivial ne fixe plus d un point et tel qu un certain élément fixe un point. Ils ont été nommés en l honneur de F. G.… …   Wikipédia en Français

  • Groupe de Frobenius — En mathématiques, un groupe de Frobenius est un groupe de permutation agissant transitivement sur un ensemble fini, tel qu aucun élément non trivial ne fixe plus d un point et tel qu au moins un point est fixé par un élément non trivial. Vu la… …   Wikipédia en Français

  • groupe — [ grup ] n. m. • 1668; it. gruppo « nœud, assemblage », d o. germ. °kruppa « masse arrondie »; cf. croupe 1 ♦ Réunion de plusieurs personnages, formant une unité organique dans une œuvre d art (peinture, sculpture). Le groupe des trois Grâces. 2… …   Encyclopédie Universelle

  • complément — [ kɔ̃plemɑ̃ ] n. m. • 1308; de l a. fr. complir « remplir »; repris 1690; lat. complementum, de complere « remplir » 1 ♦ Ce qui s ajoute ou doit s ajouter à une chose pour qu elle soit complète. ⇒ achèvement, couronnement. Le complément est… …   Encyclopédie Universelle

  • Complement d'objet direct — Complément d objet direct Pour les articles homonymes, voir COD. Le complément d objet direct (COD) (ou appelé également Complément Direct du Verbe CDV) est un complément du verbe d action transitif direct employé à la voix active : il subit …   Wikipédia en Français

  • Complément D'objet Direct — Pour les articles homonymes, voir COD. Le complément d objet direct (COD) (ou appelé également Complément Direct du Verbe CDV) est un complément du verbe d action transitif direct employé à la voix active : il subit l action accomplie par le …   Wikipédia en Français

  • Complément d’objet direct — Complément d objet direct Pour les articles homonymes, voir COD. Le complément d objet direct (COD) (ou appelé également Complément Direct du Verbe CDV) est un complément du verbe d action transitif direct employé à la voix active : il subit …   Wikipédia en Français

  • Complement de Schur — Complément de Schur En algèbre linéaire et plus précisément en théorie des matrices, le complément de Schur est défini comme suit. Soit une matrice de dimension (p+q)×(p+q), où les blocs A, B, C, D sont des matrices de dimensions respectives p×p …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”