Sous-groupe de Hall

Sous-groupe de Hall

En théorie des groupes (une branche des mathématiques), les sous-groupes de Hall d'un groupe fini sont les sous-groupes dont l'ordre et l'indice sont premiers entre eux. Ils portent le nom du mathématicien Philip Hall (en).

Sommaire

Définition

Soit G un groupe fini. Un sous-groupe de G est appelé un sous-groupe de Hall de G si son ordre est premier avec son indice dans G. Autrement dit, un sous-groupe H de G est dit sous-groupe de Hall si \ |H| est premier avec \frac{|G|}{|H|}.

Propriétés

Démonstration

Soient r l'ordre de H et s son indice dans G. Pour tout élément x de G tel que xr = 1, l'image canonique y de x dans le groupe quotient G / H vérifie yr = 1. Comme ce quotient est un groupe d'ordre s premier avec r, ceci entraîne que y = 1, i.e. que x appartient à H. Ainsi, H est l'ensemble des solutions de l'équation xr = 1 et est donc caractéristique.

  • P. Hall a prouvé[2] que si G est un groupe fini, les deux conditions suivantes sont équivalentes :
    • pour tout diviseur d de | G | tel que d soit premier avec \frac{|G|}{d}, il existe un sous-groupe (de Hall) d'ordre d de G
    • G est résoluble

Dans ce cas, les sous-groupes de Hall d'un ordre donné de G forment une classe de conjugaison dans G.

Exemple

Parmi les diviseurs d de |G| tels que d soit premier avec |G|/d figurent en particulier les d=pn, où p est un nombre premier et n un l'entier maximum tel que pn divise |G|. Les sous-groupes de Hall correspondants sont exactement les p-sous-groupes de Sylow de G. Hall étend donc à tous les diviseurs d de |G| tels que d soit premier avec |G|/d le théorème classique sur l'existence des p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini, mais seulement sous l'hypothèse supplémentaire que G est résoluble[3].

Notes et références

  1. ↑ J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., 2e tirage, 1999, exerc. 5.26, p. 107; exerc. 5.31, p. 111
  2. ↑ Ne pas confondre avec un autre théorème de Hall, résultat combinatoire plus connu sous le nom de « lemme des mariages ».
  3. ↑ J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., 2e tirage, 1999, théor. 5.28, p. 108 et théor. 5.29, p. 110.

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Sous-groupe de Hall de Wikipédia en français (auteurs)

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