Théorème de Rouché

Théorème de Rouché
Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec le théorème de Rouché-Fontené (en) en algèbre linéaire.

En analyse complexe, le théorème de Rouché est un énoncé important sur les zéros et les pôles des fonctions méromorphes. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Eugène Rouché.

Sommaire

Énoncé

Soit U \subset\C un ouvert simplement connexe, soit f et g deux fonctions méromorphes sur U avec un ensemble fini F de zéros et de pôles. Soit γ un lacet simple positivement orienté à image dans UF formant le bord \partial K d'un compact K, si pour tout z \in \gamma on a

| f(z) − g(z) | < | g(z) |

alors

Zf,KPf,K = Zg,KPg,K

Zf,K et Pf,K sont respectivement le nombre de zéros et de pôles de f (en tenant compte de leur mutliplicité) contenus dans K.

Exemple

Considérons les deux fonctions f et g définies comme suit :

f(z) = z8 − 5z3 + z − 2
g(z) = − 5z3

et considérons pour lacet le cercle positivement orienté  C(0, 1) := \{z\in\C\, \, \mathrm{t.q.}\,\, |z|=1 \} . On vérifie sur ce lacet que :

 |f(z) - g(z)| = |z^8+z-2| \le |z|^8+|z|+2 = 4

et

| g(z) | = | − 5z3 | = 5.

On peut donc appliquer le théorème de Rouché :

Zf = Zg

puisque f et g n'ont pas de pôle. Par ailleurs, g a un zéro triple à l'origine ce qui nous indique donc que la fonction f admet trois zéros dans le disque ouvert D(0,1).

Démonstration

Si | f(z) − g(z) | < | g(z) | pour tout  z\in \gamma , alors f et g sont non nulles sur γ (sinon l'inégalité stricte ne pourrait pas être vérifiée). Soit h la fonction méromorphe sur U, holomorphe et non nulle sur γ définie par :

 h(z) = \frac{f(z)}{ g(z)}.

On a pour tout  z \in \gamma

 |h(z) - 1| = \frac{|f(z)-g(z)|}{|g(z)|} < 1.

L'image de γ par h est donc contenue dans le disque ouvert de rayon 1 et de centre 1 D(1,1) et par conséquent elle ne tourne pas autour de l'origine. En appliquant le principe de l'argument on a donc :

\frac1{2\pi i} \int_\gamma \frac{h'(z)}{h(z)} \mathrm{d}z = 0.

D'autre part, on a

 \frac{h'(z)}{h(z)} = \frac{f'(z)}{f(z)} - \frac{g'(z)}{g(z)}.

Par conséquent,

 \frac1{2\pi i} \int_\gamma \frac{f'(z)}{ f(z)} \mathrm{d}z - \frac1{ 2\pi i} \int_\gamma \frac{g'(z)}{g(z)} \mathrm{d}z = 0.

Finalement, en utilisant à nouveau le principe de l'argument, on obtient

Zf,KPf,K = Zg,KPg,K.

Applications

Démonstration du théorème fondamental de l'algèbre

Soit un polynôme P à valeurs dans \C et défini par :

 P(z) = a_0 + a_1z + \dots + a_nz^n

en supposant  a_n \neq 0 . Soit R > 0 suffisamment grand pour que pour tout z \in C(0, R) on ait :

 |P(z) - a_nz^n| = |a_0+\dots+a_{n-1}z^{n-1}| < |a_nz^n|

(par exemple R=1+\frac{\max(|a_0|,\ldots,|a_{n-1}|)}{|a_n|} convient).

Étant donné que anzn admet un zéro d'ordre n à l'origine, P doit admettre n zéros dans le disque ouvert D(0,R) par application du théorème de Rouché.

Références


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Rouché de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Rouche — Théorème de Rouché En analyse complexe, le théorème de Rouché est un énoncé important sur les zéros et les pôles des fonctions méromorphes. Il est nommé ainsi en l honneur du mathématicien français Eugène Rouché. Sommaire 1 Enoncé du théorème 2… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de rouché — En analyse complexe, le théorème de Rouché est un énoncé important sur les zéros et les pôles des fonctions méromorphes. Il est nommé ainsi en l honneur du mathématicien français Eugène Rouché. Sommaire 1 Enoncé du théorème 2 Démonstration …   Wikipédia en Français

  • Théorème de d'Alembert — Gauss Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss. Jean le Rond D Alembert est le premier à ressentir la nécessité de démontrer le th …   Wikipédia en Français

  • Théorème de d’Alembert-Gauss — Théorème de d Alembert Gauss Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss. Jean le Rond D Alembert est le premier à ressentir la nécessité de démontrer le th …   Wikipédia en Français

  • Théorème fondamental de l'algèbre — Théorème de d Alembert Gauss Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss. Jean le Rond D Alembert est le premier à ressentir la nécessité de démontrer le th …   Wikipédia en Français

  • Théorème de d'Alembert-Gauss — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss. Jean le Rond D Alembert est le premier à ressentir la nécessité de démontrer le théorème fondamental de l algèbre. Sa motivation est entièrement analytique, il r …   Wikipédia en Français

  • Théorème de l'application ouverte (analyse complexe) —  Ne pas confondre ce théorème ci de l application ouverte avec cet autre : théorème de Banach Schauder. En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, le théorème de l application ouverte affirme que les fonctions… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Lagrange sur les polynômes — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Lagrange. Il s agit d un résultat trouvé par le mathématicien Joseph Louis Lagrange[réf. souhaitée] concernant les polynômes. Soit P un polynôme tel que: où les …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Thales — Théorème de Thalès  Pour l’article homonyme, voir Théorème de Thalès (cercle).  Configuration possible du théorème Le théorème de Thalès ou théorè …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Thales — Théorème de Thalès  Pour l’article homonyme, voir Théorème de Thalès (cercle).  Configuration possible du théorème Le théorème de Thalès ou théorè …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”