Théorème de Myers

Théorème de Myers

Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers

Le théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers est un théorème bien connu de la géométrie riemannienne. Il montre comment des contraintes locales sur une métrique riemannienne imposent des conditions globales sur la géométrie de la variété. Sa démonstration repose sur une utilisation classique de la formule de la seconde variation.


Théorème : Si une variété riemannienne complète a une courbure sectionnelle minorée par une constante strictement positive δ, alors son diamètre est borné par \pi/\sqrt{\delta} :

 \forall x, k(x)\geq \delta>0\Rightarrow diam M\leq \frac{\pi}{\sqrt{\delta}}

En particulier, M est compacte.


Le cas d'égalité a été étudié :

Sous les notations précédentes, si le diamètre de M est égal à \pi/\sqrt{k}, alors (M,g) est isométrique à la sphère euclidienne de rayon  1/\sqrt{k}.

Le théorème de Meyer a le corollaire bien connu suivant :

Le groupe fondamental d'une variété riemannienne compacte de courbure positive est un groupe fini.
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