Théorème de Moivre-Laplace

Théorème de Moivre-Laplace: Une planche de Galton illustre le fait que la loi binomiale tend vers la loi normale.

En probabilités, le Théorème de Moivre-Laplace stipule que si la variable $X n$ suit une loi binomiale d'ordre $n$ et de paramètre $0 < p < 1$ , alors pour $n$ suffisamment grand la variable
$Z_n = \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$
converge en loi vers une loi normale centrée et réduite $\mathcal{N}(0,1)$ .

Abraham de Moivre fut le premier à l’établir dans le cas particulier $p = 1 / 2$ en 1733, tandis que Pierre-Simon de Laplace a pu le généraliser pour toute valeur de $p$ en 1812. Il s'agit d'un cas particulier du théorème central limite.

Démonstration du théorème de Moivre-Laplace

Soit $X n$ une suite de variables binomiales $X_n \sim \mathcal{B}(n,\, p)$ .

La fonction caractéristique de $X n$ est :
$\varphi_{X_n}(t) = (pe^{it} + q)^n$ . Celle de $Z_n= \frac{X_n - np}{\sqrt{npq}}$ est : $\varphi_{Z_n}(t) = (pe^{\frac{it}{\sqrt{npq}}} + q)^{n}e^{\frac{-itnp}{\sqrt{npq}}}$
Calculons le logarithme de cette fonction :

$\ln\varphi_{Z} = n\ln [(pe^{\frac{it}{\sqrt{npq}}} + q)] - \frac{-itnp}{\sqrt{npq}} = n\ln [(p(e^{\frac{it}{\sqrt{npq}}}-1) + 1)] - \frac{-itnp}{\sqrt{npq}}$ .

On développe l'exponentielle au 2e ordre, il vient :

$\ln\varphi_{Z} \approx n\ln[1+p(\frac{it}{\sqrt{npq}}-\frac{t^2}{2npq})]- \frac{-itnp}{\sqrt{npq}}$ .

On développe ensuite le logarithme au 2e ordre, on trouve :

$\ln\varphi_{Z} \approx n(\frac{pit}{\sqrt{npq}} -\frac{pt^2}{2npq} + \frac{p^2t^2}{2npq})- \frac{-itnp}{\sqrt{npq}} = \frac{t^2}{2q} + \frac{pt^2}{2q} = \frac{t^2}{2q}(p-1) = -\frac{t^2}{2}$ .

On a démontré que :
$\ln\varphi_{Z} \approx \frac{-t^2}{2}$ et on déduit que $\varphi_{Z} \approx e^{\frac{-t^2}{2}}$ .
C'est la fonction caractéristique de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ .

Autrement dit, si $X n$ suit une loi binomiale la probabilité d'avoir au plus $x$ succès est donné par :
$\operatorname{P}(X_n \le x) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor}{n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}$
Et si $Φ$ est la fonction de répartition de $\mathcal{N}(0,1)$ on a alors :
$\lim_{n\to\infty}\operatorname{P}(X_n \le x) = \Phi \left( \frac{x - np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)$
Cette convergence est bonne en général pour $n p (1 - p) > 9$ .

Pratiquement, il faut cependant faire attention au fait que les variables $X n$ sont discrètes. Graphiquement, cela se traduit par le fait que les extrémités des bâtons du diagramme de la loi binomiale $X_n \sim \mathcal{B}(n,\, p)$ sont proches de la courbe de densité de la loi normale $\mathcal{N}(np,\sqrt{npq})$ . On peut obtenir une valeur approchée de $P(X n = x)$ par le calcul de la surface sous la courbe de densité comprise entre les droites d'abscisse $x - 1 / 2$ et $x + 1 / 2$ .
$\operatorname{P}(X_n = x)\approx\operatorname{P}\left(\frac{x-\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}} < N < \frac{x+\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}}\right)$ $\operatorname{P}(X_n \leq x)\approx\operatorname{P}\left(N < \frac{x+\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}}\right)$
On appelle cette procédure la « correction de continuité ».

Exemple

$X_n \sim \mathcal{B}(50,\, 0,3)$ ; $n p = 15$ ; $n q = 35$

D'après les tables, la valeur exacte pour $P(X n = 10) = 0,038619$ .

La formule d'approximation avec une loi $\mathcal{N}(np,\sqrt{npq}) = \mathcal{N}(15,\sqrt{10,5})$ donne le résultat :
$\operatorname{P}\left(\frac{9,5-15}{\sqrt{10,5}} < N < \frac{10,5-15}{\sqrt{10,5}}\right)$
soit
$\operatorname{P}(-1,7 < N < -1,39) = \operatorname{P}( 1,39 < N < 1,7) = 0,9554-0,9177 = 0,0377$
L'erreur d'approximation est faible.

Pour $\mathrm{P}(X_n \leq 10) = 0,0789$ , l'approximation usuelle fournit $P(N < - 1,39) = P(N > 1,39) = 1 - P(N < 1,39) = 0,0823$ .

Si nous n'avions pas corrigé la continuité de l'approximation nous aurions eu :
$\operatorname{P}\left(N \leq \frac{10-15}{\sqrt{10,5}}\right) = \operatorname{P}(N \leq -1,54)= 1-\operatorname{P}(N \leq 1,54)= 0,0618$ .
Cette dernière valeur est assez imprécise.

Voir aussi

Convergence de variables aléatoires

Théorème central limite

Planche de Galton

Portail des probabilités et des statistiques

Catégories :
Théorème de mathématiques
Probabilités

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Moivre-Laplace de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

Theoreme de Moivre-Laplace — Théorème de Moivre Laplace Une planche de Galton illustre le fait que la loi binomiale tend vers la loi normale Le Théorème de Moivre Laplace stipule que si la variable Sn suit une loi binomiale d ordre n et de paramètre … Wikipédia en Français
Théorème de moivre-laplace — Une planche de Galton illustre le fait que la loi binomiale tend vers la loi normale Le Théorème de Moivre Laplace stipule que si la variable Sn suit une loi binomiale d ordre n et de paramètre … Wikipédia en Français
Théorème central limite — Pour les articles homonymes, voir TCL. La loi normale, souvent appelée la « courbe en cloche » Le théorème central li … Wikipédia en Français
Abraham de Moivre — Pour les articles homonymes, voir Moivre. Abraham de Moivre Abraham de Moivre Naissance 26 … Wikipédia en Français
Théorème de d'Alembert — Gauss Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss. Jean le Rond D Alembert est le premier à ressentir la nécessité de démontrer le th … Wikipédia en Français
Théorème de d’Alembert-Gauss — Théorème de d Alembert Gauss Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss. Jean le Rond D Alembert est le premier à ressentir la nécessité de démontrer le th … Wikipédia en Français
Théorème fondamental de l'algèbre — Théorème de d Alembert Gauss Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss. Jean le Rond D Alembert est le premier à ressentir la nécessité de démontrer le th … Wikipédia en Français
Abraham De Moivre — Pour les articles homonymes, voir Moivre. Abraham de Moivre Abraham de Moivre … Wikipédia en Français
Abraham de moivre — Pour les articles homonymes, voir Moivre. Abraham de Moivre Abraham de Moivre … Wikipédia en Français
De Moivre — Abraham de Moivre Pour les articles homonymes, voir Moivre. Abraham de Moivre Abraham de Moivre … Wikipédia en Français

Mark and share
Search through all dictionaries
Translate…
Search Internet

Share the article and excerpts