Théorème d'Abel (analyse)

Théorème d'Abel (analyse): Pour les articles homonymes, voir Théorème d'Abel.

Le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, nommé d'après Niels Henrik Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.

Sommaire

1 Énoncé

2 Exemples

3 Démonstration

4 Réciproque partielle

5 Notes et références

6 Articles connexes

Énoncé

Théorème — Soit $\scriptstyle f(x)=\sum_{n\ge0}a_n x^n$ une série entière (à coefficients complexes) de rayon de convergence égal à $R$ .

Si la série $\scriptstyle\sum_{n=0}^\infin a_n R^n$ converge, alors la limite $\scriptstyle\lim_{x\to R^-}f(x)$ existe et est égale à la somme de cette série.

Remarque : dans le cas où la série $\scriptstyle\sum a_n R^n$ est absolument convergente, le résultat est trivial, il n'y a donc pas lieu d'invoquer ce théorème.

En effet, sous cette condition, $\scriptstyle\sum a_n x^n$ converge normalement donc uniformément sur $[0, R]$ ; on retrouve immédiatement :
$\lim_{x\to R^-}\left(\sum_{n\ge0}a_n x^n\right)=\sum_{n\ge0}\left(\lim_{x\to R^-} a_n x^n\right)=\sum_{n\ge0}a_n R^n.$
Exemples

Exemple (1) :

Soit
$f(x)=\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}x^n}n=\ln(1+x).$
Comme $\textstyle\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^{n+1}}n$ converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on déduit du théorème d'Abel que :
$\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^{n+1}}n=\lim_{x\to1^-}f(x)=\ln2.$

Exemple (2) :

Soit
$g(x)=\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}=\arctan(x).$
Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que $\textstyle\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n}{2n+1}$ converge, d'où :
$\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n}{2n+1}=\lim_{x\to1^-}g(x)=\arctan(1)=\frac\pi4.$

Démonstration

Quitte à effectuer un changement de variable linéaire $u = x / R$ , on peut considérer uniquement le cas $R = 1$ . De plus (en ajoutant une constante à $a 0$ ) on se ramène au cas $\scriptstyle\sum_{n=0}^\infin a_n=0$ . Notons $S n$ les sommes partielles de la série $\scriptstyle\sum a_n$ . On a donc par hypothèse $\scriptstyle\lim_{n\to\infty}S_n=0$ et l'on doit montrer que $\scriptstyle\lim_{x\to1^-}f(x)=0$ .

La démonstration repose sur la méthode classique de sommation par parties, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales.

Considérons $\scriptstyle x\in]0,1[$ . On a (avec la convention $S - 1 = 0$ ) :
$\sum_{n=0}^N(S_n-S_{n-1})x^n = \sum_{n=0}^NS_n(x^n-x^{n+1})+S_Nx^{N+1}.$
Comme la suite $S N$ est bornée (car convergente), on en déduit que
$f(x)=(1-x)\sum_{n=0}^{\infty}S_nx^n.$
Soit ε > 0. Il existe alors $N 0$ tel que |S_n| ≤ ε pour tout $n > N 0$ , d'où :
$|f(x)|\le(1-x)\left|\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n\right|+(1-x)~\varepsilon\sum_{n=N_0+1}^\infty x^n=(1-x)\left\vert\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n\right\vert +\varepsilon x^{N_0+1}.$
Le majorant tend vers ε quand $x$ tend vers 1, donc est inférieur à 2ε pour $x$ assez proche de 1.

Réciproque partielle

Tauber (de)^[1] a démontré en 1897^[2] que sous l'hypothèse a_n = o(1/n), si la limite radiale existe, alors la série converge et lui est égale. Ce résultat a été amélioré par Littlewood : l'hypothèse a_n = O(1/n) suffit^[3]. Le théorème taubérien de Hardy-Littlewood (en) en est une généralisation.

Notes et références

↑ (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Alfred Tauber », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews [lire en ligne] .

↑ (de) A. Tauber, « Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen », dans Monatshefte für Mathematik (de), vol. 8, 1897, p. 273–277

↑ Ceci fournit un autre argument pour traiter les deux exemples ci-dessus.

Articles connexes

Série divergente

Théorèmes abéliens et taubériens (en)

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Série (mathématiques)
Théorème d'analyse

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