- Theoreme de relevement
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Théorème de relèvement
Le théorème de relèvement est employé lors de l'étude de fonctions réelles à valeurs complexes. Il peut s'énoncer de la façon suivante :
- Si f est une fonction continue sur un intervalle I de à valeurs dans le cercle unité du plan complexe, alors il existe une application θ continue sur I à valeurs dans telle que :
On dit alors que θ est un relèvement de f. Si notre fonction f est une fonction à valeurs complexes mais qui ne s'annule pas sur son intervalle de définition, ce théorème nous permet de la mettre sous forme polaire :
Compléments
Deux relèvements de f diffèrent d'une constante de la forme 2kπ où k est un entier relatif.
Si la fonction f est de classe Ck avec k un entier naturel, alors il existe un relèvement θ de f de classe Ck.
Méthodes de démonstration
Pour k > 0 la démonstration consiste à dériver la relation puis à définir θ par une intégrale.
Pour k = 0 la démonstration est sensiblement différente et fait appel à différentes notions de topologie, par exemple la continuité uniforme ou le lemme de Cousin.
Voir aussi
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