Theoreme de Burnside (groupe resoluble)

Theoreme de Burnside (groupe resoluble)

Théorème de Burnside (groupe résoluble)

William Burnside

En mathématiques, et plus précisément dans le contexte de la théorie des groupes finis, le théorème de Burnside traite des groupes résolubles.

Ce théorème stipule que, si p et q sont deux nombres premiers et n et m deux entiers positifs, alors tout groupe d'ordre pn.q m est résoluble.

Il est nommé en l'honneur de William Burnside (1852-1927), qui l'a démontré en 1905, à l'aide de la théorie des représentations d'un groupe.

Ce résultat généralise un théorèmes de Sylow qui traite le cas où m est égal à zéro.

Sommaire

Histoire

En 1872, Ludwig Sylow (1832 - 1918) énonce[1] trois célèbres théorèmes dont l'un indique le caractère nilpotent et donc résoluble d'un groupe de cardinal pn. Au cours du siècle à venir, ce résultat est largement étendu.

Georg Frobenius (1849-1917) démontre[2] que tout groupe de cardinal pn.q est résoluble. Ce résultat est généralisé trois ans plus tard par Camille Jordan (1838 1922) au cas où m est égal à deux. C'est en 1905 que William Burnside démontre la véracité du résultat dans le cas où n et m sont quelconques[3]. Le théorème n'est néanmoins pas encore totalement généralisé, John Thompson (né en 1932) reçoit la médaille Fields pour son article[4] écrit en commun avec Walter Feit qui démontre que tout groupe d'ordre impair est résoluble.

Démonstration

La démonstration est un peu technique. Elle utilise beaucoup des méthodes existantes au moment de la rédaction de l'article. On trouve bien évidemment la notion de groupe résoluble, mais aussi un théorème de Sylow avec l'utilisation de p-groupes, les classes de conjugaison découvertes par Burnside. Enfin la théorie des représentations d'un groupe fini est largement utilisée avec sa dimension arithmétique récemment découverte par Issai Schur (1875-1941).


Notes et références

Notes

  1. Ludwig Sylow Théorèmes sur les groupes de substitutions Mathematische Annalen Volume 5 pages 584 à 594 1872
  2. Georg Frobenius Uber auflösbare Gruppen II Preußischen Akademie Berlin page 1027 à 1044 1895
  3. William Burnside Theory of Groups of Finite Order Dover Publications 2004
  4. J. Thompson et W. Feit Chapter I, from Solvability of groups of odd order Math, vol. 13, no. 3 1963

Liens externes

Références

  • William Burnside Theory of Groups of Finite Order Dover Publications 2004
  • Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions]
  • Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions]
  • (en) Marshall Hall, The theory of groups [détail des éditions]
  • Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808) [détail des éditions]
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