Produit infini de cantor

Produit infini de cantor

Produit infini de Cantor

Construction du produit

Soit x0 un nombre réel strictement plus grand que 1. On définit les nombres suivants, où \left[ x \right] représente la partie entière de x :

a_0 = \left[ \frac{x_0}{x_0 - 1} \right ], x_1 = \frac{x_0}{1 + \frac{1}{a_0}}.

De ce fait, a_0 + 1 > \frac{x_0}{x_0 - 1} \geq a_0. Donc, on a x1 > 1. On peut donc itérer le principe précédent et obtenir :

a_n = \left[ \frac{x_n}{x_n - 1} \right ], x_{n+1} = \frac{x_n}{1 + \frac{1}{a_n}}.

Ainsi, on a le théorème suivant : quel que soit x0 > 1, on peut écrire de manière unique:

x_0 = \prod_{n=0}^{\infty}{\left(1 + \frac{1}{a_n}\right)}.

Propriétés

  • \forall n, a_n \in \mathbb{N}
  • \exist N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, a_n \geq 2
  • \forall n, a_{n+1} \geq a_n^2
  • Soit x0 > 1. Alors x0 est un nombre rationnel si, et seulement si, \exist N \in \mathbb{N} tel que la suite (a_n)_{n \in \mathbb{N}} de son développement en série de Cantor vérifie a_{n+1} = a_n^2 pour n \geq N.

Exemples

\sqrt{3} = \prod_{n=0}^{\infty}{\left(1 + \frac{1}{a_n}\right)}, avec a0 = 2 et a_{n+1} = 2a_n^2-1,

\sqrt{2} = \prod_{n=0}^{\infty}{\left(1 + \frac{1}{a_n}\right)}, avec a0 = 3 et a_{n+1} = 2a_n^2-1.

D'après les propriétés précédentes, on voit donc que \sqrt{2} et \sqrt{3} sont des nombres irrationnels (même s'il y a beaucoup plus simple pour le démontrer).

L'intérêt premier du développement en produit de Cantor est la rapidité de convergence de l'algorithme, ce qui en fait un candidat intéressant pour une implémentation sur calculatrice.

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