Polygones réguliers

Polygone régulier

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Pentagone régulier

En géométrie, il existe deux définitions équivalentes de polygone régulier.

Par les angles et les côtés.

Un polygone régulier est un polygone convexe dont tous les angles ont la même mesure et tous les côtés la même longueur.

Par rotation.

Si on se donne deux points O et A, un nombre entier n supérieur ou égal à 3, alors les images successives de A par des rotations de centre O et d'angles $\frac{360}{n}^\circ$ génèrent les sommets d'un polygone régulier à n côtés et centre O.

Tous les polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont semblables.

Dans certains contextes, tous les polygones considérés seront réguliers. Dans de telles circonstances, il est d'usage de sous-entendre l'épithète « régulier ». Par exemple, toutes les faces des polyèdres uniformes doivent être régulières et les faces seront décrites simplement en tant que triangle, carré, pentagone...

De tels polygones sont le support des nombres polygonaux.

Les multiples propriétés des polygones réguliers ont conduit à leur étude mathématique depuis l'Antiquité et à diverses interprétations symboliques, religieuses ou magiques.

Propriétés

Vocabulaire

Apothème d'un hexagone régulier

Tout polygone régulier est inscrit dans un cercle. Le centre et le rayon de ce cercle sont également appelés centre et rayon du polygone régulier. La distance entre le centre du polygone et chacun des côtés est l'apothème.

Comme les polygones réguliers à n côtés sont semblables, la donnée d'une des trois longueurs (côté, rayon ou apothème) permet de connaître les deux autres et donc de caractériser le polygone.

Si on note a l'apothème, r le rayon et c la moitié du côté d'un polygone régulier à n côtés, ces longueurs sont liées par le théorème de Pythagore :

a 2 + c 2 = r 2

et par les formules de trigonométrie (les angles étant exprimés en Degrés) suivantes :

$a = r\cos\left(\dfrac{180}{n}\right)$

$c = r\sin\left(\dfrac{180}{n}\right)$

$c = a\tan\left(\dfrac{180}{n}\right)$

Angles

Les angles au centre d'un polygone régulier à n côtés mesurent $\dfrac{360^\circ}{n}$ .

Chaque angle d'un polygone régulier à n côtés a une mesure de $(1-\frac{2}{n})\times 180 = (n-2)\times \frac{180}{n}$ degrés, ou encore $\frac{(n-2)\pi}{n}$ radians ou $\frac{(n-2)}{2n}$ tours.

Aire et périmètre

Si t est la longueur d'une arête, l'aire a et le périmètre p d'un polygone régulier à n côtés est donnée par la formule suivante :

$a=\frac{nt^2}{4\tan(\pi/n)}\quad\text{et}\quad p = nt$

Si ρ désigne le rayon du polygone, c'est-à-dire la distance entre le centre et un sommet, on obtient :

$a = \frac n2 \sin \left(\frac {2\pi}{n}\right)\rho^2 \quad\text{et}\quad p = 2n \sin \left(\frac {\pi}n\right)\rho$

Cette aire est aussi égale à la moitié du périmètre multiplié par la longueur de l'apothème.

Si n est grand, les valeurs π/n et 2π/n deviennent petites, le sinus d'une petite valeur est proche de cette valeur. Plus la valeur est petite, plus la proximité est bonne, on en déduit que plus le nombre de cotés d'un polygone augmente, plus son périmètre et son aire se rapprochent de ceux d'un cercle de même rayon.

Les polygones réguliers ont une propriété remarquable, connue depuis les grecs. Parmi tous les polygones de même nombre de cotés et de même périmètre, celui qui est régulier possède la plus grande aire. Cette aire, toujours plus petite que celle du cercle de même rayon, s'en rapproche au fur et à mesure que n devient plus grand. Ces propriétés sont traitées dans l'article Isopérimétrie.

Démonstration

La figure explicative est sur la droite. Pour plus de simplicité, on oriente le polygone de telle manière que l'arête située la plus à droite soit verticale. L'angle associé à une arête est de mesure 2π/n. Il est néanmoins plus simple de considérer les demi-angles, la longueur d'une arête, égale à p/n s'exprime de la manière suivante :

$t = 2\rho \sin \left(\frac {\pi}n\right)\quad\text{et}\quad \rho = \frac t{2\sin \left(\frac {\pi}n\right)}$

La longueur d'une arête est en effet deux fois celle du segment vert sur la figure. La surface a du polygone est la somme des aires de n triangles isocèles, ayant pour hauteur le segment en rouge sur la figure et pour base une arête. Ce qui donne la formule :

$a = n\rho^2 \cos\left(\frac {\pi}n\right)\sin\left(\frac {\pi}n\right)= \frac n2 \sin \left(\frac {2\pi}{n}\right)\rho^2$

En remplaçant ρ par sa valeur, on obtient :

$a = \frac {nt^2\cos\left(\frac {\pi}n\right)\sin\left(\frac {\pi}n\right)}{4\sin^2 \left(\frac {\pi}n\right)} = \frac {nt^2}{4\tan\left(\frac {\pi}n\right)}$

Valeurs numériques

Cotés	Nom	Aire exacte si t = 1	Demi périmètre si ρ = 1
3	Triangle équilatéral	$\frac{\sqrt{3}}{4}$	2,5980762
4	Carré	$1\;$	2.8284271
5	Pentagone régulier	$\frac {1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}}$	2,9389263
6	Hexagone régulier	$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$	3,000000
7	Heptagone régulier		3,0371862
8	Octogone régulier	$2 + 2 \sqrt{2}$	3,0614675
9	Ennéagone régulier		3,0781813
10	Décagone régulier	$\frac{5}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}}$	3,0901699
11	Hendécagone régulier		3,0990581
12	Dodécagone régulier	$6+3\sqrt{3}$	3,1058285
13	Triskaidécagone régulier		3,1111036
14	Tétradécagone régulier		3,1152931
15	Pentadécagone régulier		3,1186754
16	Hexadécagone régulier		3,1214452
17	Heptadécagone régulier		3,1237418
18	Octadécagone régulier		3,1256672
19	Ennéadécagone		3,1272972
20	Icosagone		3,1286893
100	Hectagone		3,1410759
1 000	Chiliagone		3,1415875
10 000	Myriagone		3,1415926

On remarque que, si le rayon est égal à 1, le demi-périmètre s'approche de plus en plus de π.

Symétrie

Le groupe de symétrie d'un polygone régulier à n-cotés est le groupe diédral (ou diédrique) D_n (d'ordre 2n) : D₂, , ,... Il est constitué des rotations dans C_n (le groupe de symétrie rotationnelle d'ordre n), avec les symétries de réflexion par n axes qui passent à travers le centre. Si n est pair, alors la moitié de ces axes passent à travers deux sommets opposés, et l'autre moitié à travers le milieu des côtés opposés. Si n est impair, alors tous les axes passent à travers un sommet et le milieu du côté opposé.

Construction à la règle et au compas

Article détaillé : Construction à la règle et au compas.

Un polygone régulier à n arêtes peut être construit avec la règle et le compas si et seulement si les facteurs premiers impairs de n sont des nombres premiers de Fermat distincts, (cf l'article Théorème de Gauss-Wantzel).