Inegalite de Paley–Zygmund

Inegalite de Paley–Zygmund

Inégalité de Paley–Zygmund

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En mathématiques, l’inégalité de Paley-Zygmund minore la probabilité qu'une variable aléatoire positive soit « petite », au sens de sa valeur moyenne attendue et de sa variance. Elle fut établie par Raymond Paley et Antoni Zygmund.

Sommaire

Inégalité

Énoncé

Si Z ≥ 0 est une variable aléatoire de variance finie, et si 0 < θ < 1, alors

\Pr \lbrace Z \geq \theta\, \operatorname{E}(Z) \rbrace \geq (1-\theta)^2\, \frac{\operatorname{E}(Z)^2}{\operatorname{E}(Z^2)}.

Démonstration

Tout d'abord, on a :

\operatorname{E} Z = \operatorname{E} \lbrace Z \, \mathbf{1}_{Z < \theta \operatorname{E} Z} \rbrace  + \operatorname{E} \lbrace Z \, \mathbf{1}_{Z \geq \theta \operatorname{E} Z} \rbrace~.

Le premier terme de la somme est égal, au plus, à \theta \operatorname{E}(Z). Le second terme est au plus égal à :

 \lbrace \operatorname{E} Z^2 \rbrace^{1/2} \lbrace \operatorname{E} \mathbf{1}_{Z \geq \theta \operatorname{E} Z} \rbrace^{1/2} = \Big( \operatorname{E} Z^2 \Big)^{1/2} \Big(\Pr \lbrace Z \geq \theta\, \operatorname{E}(Z) \rbrace\Big)^{1/2}

d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Ainsi, l'inégalité de Paley-Zygmund est démontrée.

Inégalités liées

On peut réécrire la partie gauche de l'inégalité de Paley-Zygmund sous la forme :

\Pr \lbrace Z \geq \theta\, \operatorname{E}(Z) \rbrace \geq \frac{(1-\theta)^2 \, \operatorname{E}(Z)^2}{\operatorname{E}(Z)^2 + \operatorname{Var} Z}.

L'inégalité de Chebyshev donne une meilleure minoration :

\Pr \lbrace Z \geq \theta\, \operatorname{E}(Z) \rbrace \geq \frac{(1-\theta)^2 \, \operatorname{E}(Z)^2}{(1-\theta)^2 \, \operatorname{E}(Z)^2+ \operatorname{Var} Z}.

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Paley-Zygmund inequality ».
  • R.E.A.C.Paley et A.Zygmund, « A note on analytic functions in the unit circle », Proc. Camb. Phil. Soc. 28, 1932, 266-272.
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