Généralités sur les machines électriques

Généralités sur les machines électriques

Le but de cette page est d'expliquer et de démontrer comment une machine électrique fonctionne et produit un couple.

Sommaire

Circuit statique

Circuit Magnétique.png

Soit un circuit magnétique entouré par un bobinage comportant N spires alimenté par une tension u \,. On note \varphi\, flux par spire et \Phi = N \varphi\, le flux total embrassé par la bobine.

On peut faire le schéma électrique équivalent suivant Circuit Magnétique équivalent électrique.png avec une résistance R qui symbolise les pertes dans les câbles et une fem e={d\Phi\over dt}\, voir Loi de Lenz.

donc on peut écrire :

u=Ri+ {d\Phi\over dt}\,

En multipliant cette équation par idt\, on obtient :

u.i.dt=R.i^2.dt+N.i.d\varphi\,

Bilan des énergies

Circuit Magnétique statique puissance.png

Donc on alimente un circuit magnétique avec une tension u, le circuit consomme une puissance We, on obtient de la chaleur W_th (les câbles chauffent) et le reste est de l'énergie magnétique. donc dW_e=dW_{th}+dW_{m}\,

Reprenons la formule plus haut u.i.dt=R.i^2.dt+N.i.d\varphi\, On peut identifier dW_e=u.i.dt \, la puissance consommée et dW_{th} = R.i^2.d t\, les pertes thermiques.

Par identification on en déduit que dW_m=Nid\varphi\,. Donc :

W_m = \int{Nid\varphi}\,

Si on considère que le circuit est indéformable alors dS=0 \, avec S \, = surface délimitée par le circuit.

\varphi = B.S \Rightarrow d\varphi = S.dB+dS.B \Rightarrow dW_m=N.i.S.dB\,

Ni = \int{H.dl}=Hl

donc on en déduit dW_m=H.l.S.dB=H.dB.V \, avec V= l.S = \,Volume

donc W_m=\int{H.dB.V}

Cas linéaire : On considère que le matériau est non saturé.

donc \Phi =Li\, et B=\mu .H\,


W_m=\frac{1}{2}.\Phi .i\, si \Phi=L.i\, alors W_m=\frac{1}{2}.L.i^2

\frac{W_m}{V}=\frac{1}{2}.B.H=\frac{1}{2}.\mu .H^2= \frac{B^2}{2\mu}

on pose W_m+W'_m= \Phi .i=N.\varphi .i \, avec :

  • W_m \,= énergie magnétique
  • W'_m\,= co-énergie

dans le cas linéaire = W_m=W'_m=\Phi .i /2 \,

Circuit déformable ou dynamique

Comme le circuit est en mouvement, on a de l'énergie mécanique en plus de l'énergie thermique et l'énergie magnétique.

Circuit Magnétique avec déplacement.png

Donc : dW_e=dW_{th}+dW_{meca}+dW_m \,, avec :

  • dW_e=u.i.dt=(Ri+N\frac{d\varphi}{dt}).i.dt=R.i^2.dt+N.i.d\varphi \,
  • dWth= R.i^2.dt\,
  • dW_{meca} = F.dx\, (déplacement linéaire) ou dW_{meca} = C.d \theta \, (rotation)

De plus on néglige les pertes fer et les frottements.

donc on obtient :

R.i.dt+N.i.d\varphi=Fdx+dW_m \,
F=(-\frac{dW_m}{dt}) \varphi=cste\,

comme W_n+W'_m = \varphi .N.i \,

Cas particuliers

Stator lisse Rotor Lisse

Stator lisse Rotor Saillant

Stator Saillant Rotor lisse

Stator Saillant Rotor Saillant

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