Conjecture de gilbreath

Conjecture de gilbreath

Conjecture de Gilbreath

La conjecture de Norman Gilbreath est une conjecture dans le domaine de la théorie des nombres, attribuée à Norman L. Gilbreath, en 1958.

Définition du problème

Il s'agit d'écrire tous les nombres premiers, soit:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

et d'écrire ensuite la valeur absolue de la différence entre deux valeurs consécutives de la séquence précédente, et de recommencer avec la séquence ainsi obtenue. On obtiendra quelque chose de la forme :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, ...
1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, ...
1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, ...
1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ...
1, 2, 0, 0, 0, 2, ...
1, 2, 0, 0, 2, ...

Ce qui équivaut à noter an une valeur de la séquence originale et bn une valeur de la nouvelle séquence ; alors

bn = | an − an + 1 | .

La conjecture de Norman Gilbreath s'énonce ainsi :

La première valeur de chaque séquence est 1, sauf dans la séquence de nombres premiers originale.

Elle a été vérifiée pour des nombres allant jusqu'à 1013[1].

Notes et références

  1. ↑ A. M. Odlyzko, "Iterated absolute values of differences of consecutive primes," Mathematics of Computation, 61 (1993) pp. 373–380. [1]
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