- Profondeur d'un module
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En algèbre commutative, la profondeur d'un module est une mesure de la taille de son support.
Sommaire
Définition
Soit M un module sur un anneau commutatif A. Un élément a ∈ A est dit M-régulier si ax = 0 avec x ∈ M implique que x = 0. Les éléments A-réguliers sont donc exactement les éléments réguliers de A (éléments non diviseur de 0).
Une suite (ordonnée) a1,...,an d'éléments de A est appelée une suite M-régulière si pour tout i plus petit que n, ai est régulier pour le module M / (a1M + ... + ai − 1M).
Lorsque A est un anneau noethérien, M est de type fini et I est un idéal de A tel que
, le plus grand entier n tel qu'il existe une suite M-régulière d'éléments appartenant à I est appelé la I-profondeur de M. Si de plus A est local de maximal m, la m-profondeur de M est simplement appelée la profondeur de M.On dit qu'un anneau noethérien A est un anneau de Cohen (en)-Macaulay (en) si pour tout idéal premier P de A, l'anneau local AP est de profondeur (en tant que AP-module) égale à sa dimension de Krull.
Propriétés
Profondeur et platitude
Soient A, B des anneaux locaux noethériens. Soient
un homomorphisme plat et M un A-module de type fini. Alors
[1]où k est le corps résiduel de A.
Notes
- A. Grothendieck et J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique, IV.6.3.1.
Bibliographie
(en) H. Matsumura, Commutative algebra, second edition, The Benjamin/Cummings Publ. Company, 1980. Chapter 6
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