Pentation

Pentation

Le pentation est la répétition de l'opération de la tétration, comme la tétration est la répétition de l'opération de l'exponentiation. Le pentation est un hyperopération.

Comme la tétration, le pentation a de petites applications réelles. Il est non commutatif, et a donc deux fonctions inverses, qui pourraient être appelées la penta-racine et le penta-logarithme (analogues aux deux fonctions inverses pour l'élévation à une puissance : racine et logarithme). Pentation bondit également les fonctions récurrentes élémentaires.

Le mot pentation a été inventé par Reuben Goodstein à partir de penta- (cinq) et itération. Ce fait partie de son arrangement de nomination général pour des hyperoperations.

Pentation peut être écrit dans la notation des puissances itérées de Knuth comme a \uparrow \uparrow \uparrow b ou a \uparrow^ {3} b.

Sommaire

Prolongation

On ne sait pas comment prolonger le pentation aux nombres complexes ou aux valeurs non entières.

Prolongation aux nombres zéro et négatifs

Utilisant le super-logarithme, a \uparrow^ {3} b peuvent être faits quand b est négatif ou 0, mais faire ainsi est beaucoup plus limité. Pour toutes les valeurs de nombre entier positives de a le pentation négatif est comme suit :

  • a \uparrow^{3}0 = \operatorname{slog}_a a = 1, \, si a > 1.
  • a \uparrow^{3}-1 = \operatorname{slog}_a 1 = 0, \, si a > 1.
  • a \uparrow^{3}-2 = \operatorname{slog}_a 0 = -1, \, si a > 1.

Il peut également être fait quand a est négatif, mais c'est seulement le cas quand a est égal à -1. Pour toutes les valeurs de nombre entier positives de b , les trois réponses possibles qui vous pouvez obtenir pour -1 \uparrow^ {3} b sont montrées ci-dessous :

  • -1 \uparrow^{3}b = {^{1}{-1}} = -1, \, si b est conforme à 1 modulo 3.
  • -1 \uparrow^{3}b = {^{-1}{-1}} = 0, \, si b est conforme à 2 modulo 3.
  • -1 \uparrow^{3}b = {^{0}{-1}} = 1, \, si b est conforme à 0 modulo 3.

Valeurs choisies

Car son opération basse (tétration) n'a pas été prolongée aux tailles de non-nombre entier, le pentation a \uparrow^ {3} b actuellement est seulement défini pour des valeurs de nombre entier a > 0 et b ≥ 0, et quelques autres valeurs de nombre entier qui peuvent être uniquement définies. Comme tous autres hyperoperations de l'ordre 3 (élévation à une puissance) et plus haut, le pentation a les cas insignifiants suivants (identités) qui se tient pour toutes les valeurs d'a et de b dans son domaine :

  • 1 \uparrow^{3}b = 1
  • a \uparrow^{3}1 = a

Autre que les cas insignifiants montrés ci-dessus, le pentation produit des nombres extrêmement grands très rapidement tels qu'il y a seulement quelques cas non triviaux qui produisent les nombres qui peuvent être écrits dans la notation conventionnelle, comme illustré ci-dessous :

  • 2 \uparrow^{3}2 = {^{2}2} = 4
  • 2 \uparrow^{3}3 = {^{^{2}2}2} = ^{4}2 = 65,536
  • 2 \uparrow^{3}4 = {^{^{^{2}2}2}2} = ^{65,536}2 = 2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}} \mbox{ (a power tower of height 65,536) } \approx \exp_{10}^{65,533}(4.29508) (montré ici dans la notation exponentielle réitérée comme il est loin trop grand être écrit dans la notation conventionnelle. Note exp 10(n) = 10n)
  • 3 \uparrow^{3}2 = {^{3}3} = 7,625,597,484,987
  • 3 \uparrow^{3}3 = {^{^{3}3}3} = {^{7,625,597,484,987}3} = 3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}} \mbox{ (une tour de puissance de taille 7.625.597.484.987) } \approx \exp_{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)
  • 4 \uparrow^{3}2 = {^{4}4} = 4^{4^{4^4}} = 4^{4^{256}} \approx \exp_{10}^3(2.19) (un nombre avec plus de 10153 chiffres)
  • 5 \uparrow^{3}2 = {^{5}5} = 5^{5^{5^{5^5}}} = 5^{5^{5^{3125}}} \approx \exp_{10}^4(3.33928) (un nombre avec plus de 10102184 chiffres)

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

  • Sur les hyperopérations
    • Reuben Louis Goodstein, « Transfinite ordinals in recursive number theory », The Journal of Sumbolic Logic, vol. 12, No 4, pp. 123-129, décembre 1947
  • Sur la notation fléchée de Knuth
    • Donald Ervin Knuth, « Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness », Science, vol. 194 No 4271, pp. 1235-1242, décembre 1976

Lien externe


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