Nerf d'un recouvrement
- Nerf d'un recouvrement
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En mathématiques, le nerf d'un recouvrement est un ensemble simplicial associé à un recouvrement ouvert d'un espace topologique E. Il peut éventuellement intervenir dans la définition de la cohomologie de Cech d'un faisceau.
Un recouvrement ouvert (Ui) est une famille d'ouverts de E dont la réunion est E. Cette famille est indexée par un ensemble d'indices I. Le nerf est défini comme suit.
- Pour tout entier naturel n,
;
- Pour toute application croissante
![f:[0,n]\rightarrow [0,m]](f/4bf2d1bcd611f7eb3e66cff9e926bc80.png)
, on définit X(f) par
.
De la sorte, on a défini un ensemble simplicial X. Les faces de dimension m, c'est-à-dire les éléments de Xm, sont exactement les sous-familles à m éléments dont l'intersection est non vide.
Supposons que le recouvrement est localement fini, et que les intersections sont toutes contractibles. Alors la réalisation topologique de X a le même type d'homotopie que E. Toute variété topologique de dimension finie (supposée séparée) admet un recouvrement ouvert localement fini. Elle a donc le même type d'homotopie qu'un ensemble simplicial.
Références
- S.I. Gelfand et Yu. I. Manin, Methods of homological algebra, Chapitre 1.
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Nerf d'un recouvrement de Wikipédia en français (auteurs)
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