Nerf d'un recouvrement

Nerf d'un recouvrement
Cet article court présente un sujet plus développé dans : ensemble simplicial.

En mathématiques, le nerf d'un recouvrement est un ensemble simplicial associé à un recouvrement ouvert d'un espace topologique E. Il peut éventuellement intervenir dans la définition de la cohomologie de Cech d'un faisceau.

Un recouvrement ouvert (Ui) est une famille d'ouverts de E dont la réunion est E. Cette famille est indexée par un ensemble d'indices I. Le nerf est défini comme suit.

  • Pour tout entier naturel n,
    X_n=\{(i_0,\dots,i_n),\, U_{i_0}\cap\dots \cap U_{i_n}\neq \emptyset\} ;
  • Pour toute application croissante f:[0,n]\rightarrow [0,m], on définit X(f) par
    X(f)(i_0,\dots,i_m)=(i_{f(0)},\dots,i_{f(n)}).

De la sorte, on a défini un ensemble simplicial X. Les faces de dimension m, c'est-à-dire les éléments de Xm, sont exactement les sous-familles à m éléments dont l'intersection est non vide.

Supposons que le recouvrement est localement fini, et que les intersections sont toutes contractibles. Alors la réalisation topologique de X a le même type d'homotopie que E. Toute variété topologique de dimension finie (supposée séparée) admet un recouvrement ouvert localement fini. Elle a donc le même type d'homotopie qu'un ensemble simplicial.

Références

  • S.I. Gelfand et Yu. I. Manin, Methods of homological algebra, Chapitre 1.

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Nerf d'un recouvrement de Wikipédia en français (auteurs)

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