Condition des sinus d'Abbe

Condition des sinus d'Abbe

La condition des sinus d'Abbe est une condition qui doit être remplie par une lentille ou un autre système optique pour qu'il puisse produire des images nettes d'objets situés aussi bien sur l'axe optique qu'en dehors. Elle a été formulée par Ernst Abbe lors de ses études sur les microscopes.

L'expression mathématique de cette condition est la suivante :

\frac{\sin u'}{\sin U'} = \frac{\sin u}{\sin U}

où les variables u et U sont les angles (mesurés par rapport à l'axe optique) de deux rayons quelconques qui partent d'un objet, et u’ et U’ sont les angles de ces mêmes rayons alors qu'ils parviennent au plan image (par exemple le plan du capteur CCD au sein d'un appareil photo). Par exemple, (u,u’) peuvent représenter un rayon paraxiale (i.e un rayon quasi parallèle à l'axe optique), et (U,U’') peuvent représenter un rayon marginal (i.e un rayon dont la valeur de l'angle est la plus élevée encore autorisée par le système optique).

La condition est générale et ne s'applique pas qu'à ces deux seuls rayons.

Cette expression mathématique peut aussi s'exprimer ainsi : les sinus des angles de sortie se doivent d'être proportionnels aux sinus des angles d'incidence.

Le grandissement et la conditions des sinus d'Abbe

En se plaçant dans le cadre de l'optique de Fourier, nous pouvons aisément expliquer la signification de la condition des sinus d'Abbe. Soit un objet dans le plan objet d'un système optique qui possède une fonction de transmission du type T(xo,yo). Nous pouvons exprimer cette fonction de transmission à travers sa transformée de Fourier :

T(x_o,y_o) = \int\!\!\!\int T(k_x,k_y) ~ e^{j(k_x x_o + k_y y_o)} ~ dk_x dk_y

A présent, pour simplifier le problème, faisons l'hypothèse que le système optique ne cause pas de distorsion d'image, ainsi la relation qui lie les coordonnées associées au plan image à celles associées au plan objet est linéaire :

xi = Mxo
yi = Myo

M est le grandissement du système. Réécrivons alors la transmission du plan objet donné précédemment sous une forme légèrement modifiée:

T(x_o,y_o) = \int\!\!\! \int T(k_x,k_y) ~ e^{j((k_x/M) (Mx_o) + (k_y/M) (My_o))} ~ dk_x dk_y

où nous avons simplement multiplié et divisé les différents termes de l'exposant par M, le grandissement du système. Maintenant, nous pouvons transcrire les équations précédentes dont les coordonnées étaient relatives au plan image en se servant des coordonnées plan objet, pour obtenir,

T(x_i,y_i) = \int\!\!\! \int T(k_x,k_y) ~ e^{j((k_x/M) x_i + (k_y/M) y_i)} ~ dk_x dk_y

On peut maintenant proposer un autre changement de coordonnées en reliant les nombres d'onde du plan objet aux nombres d'onde du plan image :

k^i_x = k_x / M
k^i_y = k_y / M

pour obtenir notre équation finale pour le plan image en termes de coordonnées propres au plan image et de nombres d'onde liés aussi au plan image :

T(x_i,y_i) = M^2 \int\int T(M k^i_x,M k^i_y) ~ e^{j(k^i_x x_i + k^i_y y_i)} dk^i_x dk^i_y

L'optique de Fourier nous apprend que les nombres d'onde peuvent être exprimés dans un système de coordonnées sphériques :

kx = ksin θcos ϕ
ky = ksin θsin ϕ

Si nous considérons une composante spectrale pour laquelle φ = 0, alors la transformation des coordonnées entre les nombres d'onde du plan objet et ceux du plan image se met sous la forme :

kisin θi = ksin θ / M

C'est une autre façon d'écrire la condition des sinus d'Abbe, qui ne fait que refléter le principe d'incertitude d'Heisenberg pour des couples de transformées de Fourier. En d'autres termes alors que l'extension spatiale de toute fonction est agrandie (par un facteur d'agrandissement M), son extension spectrale est contractée par le même facteur, M, de telle sorte que le produit Largeur-étendue fréquentielle reste inchangé.


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Condition des sinus d'Abbe de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • condition des sinus d’Abbe — Abės sinusų sąlyga statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Abbe’s sine condition vok. Abbesche Sinusbedingung, f rus. условие синусов Аббе, n pranc. condition des sinus d’Abbe, f …   Fizikos terminų žodynas

  • condition des sinus — sinusų sąlyga statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. sine condition vok. Sinusbedingung, f rus. условие синусов, n pranc. condition d’Abbe, f; condition des sinus, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Sinus d'Abbe — La condition des sinus d Abbe est une condition qui doit être remplie par une lentille ou un autre système optique pour qu il puisse produire des images nettes d objets situés aussi bien sur l axe optique qu en dehors. Elle a été formulée par… …   Wikipédia en Français

  • Abbe’s sine condition — Abės sinusų sąlyga statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Abbe’s sine condition vok. Abbesche Sinusbedingung, f rus. условие синусов Аббе, n pranc. condition des sinus d’Abbe, f …   Fizikos terminų žodynas

  • condition d’Abbe — sinusų sąlyga statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. sine condition vok. Sinusbedingung, f rus. условие синусов, n pranc. condition d’Abbe, f; condition des sinus, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Ernst Abbe — Pour les articles homonymes, voir Abbe. Portrait d Ernst Abbe Ernst Abbe (23 janvier 1840 à Eisenach 14  …   Wikipédia en Français

  • sine condition — sinusų sąlyga statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. sine condition vok. Sinusbedingung, f rus. условие синусов, n pranc. condition d’Abbe, f; condition des sinus, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Carl Zeiss — Pour les articles homonymes, voir Carl Zeiss (homonymie). Carl Zeiss et son microscope. Carl Zeiss (11 septembre 1816 à Weimar – 3 décemb …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”