Condition des sinus d'Abbe

La condition des sinus d'Abbe est une condition qui doit être remplie par une lentille ou un autre système optique pour qu'il puisse produire des images nettes d'objets situés aussi bien sur l'axe optique qu'en dehors. Elle a été formulée par Ernst Abbe lors de ses études sur les microscopes.

L'expression mathématique de cette condition est la suivante :

où les variables u et U sont les angles (mesurés par rapport à l'axe optique) de deux rayons quelconques qui partent d'un objet, et u’ et U’ sont les angles de ces mêmes rayons alors qu'ils parviennent au plan image (par exemple le plan du capteur CCD au sein d'un appareil photo). Par exemple, (u,u’) peuvent représenter un rayon paraxiale (i.e un rayon quasi parallèle à l'axe optique), et (U,U’') peuvent représenter un rayon marginal (i.e un rayon dont la valeur de l'angle est la plus élevée encore autorisée par le système optique).

La condition est générale et ne s'applique pas qu'à ces deux seuls rayons.

Cette expression mathématique peut aussi s'exprimer ainsi : les sinus des angles de sortie se doivent d'être proportionnels aux sinus des angles d'incidence.

Le grandissement et la conditions des sinus d'Abbe

En se plaçant dans le cadre de l'optique de Fourier, nous pouvons aisément expliquer la signification de la condition des sinus d'Abbe. Soit un objet dans le plan objet d'un système optique qui possède une fonction de transmission du type T(x_o,y_o). Nous pouvons exprimer cette fonction de transmission à travers sa transformée de Fourier :

A présent, pour simplifier le problème, faisons l'hypothèse que le système optique ne cause pas de distorsion d'image, ainsi la relation qui lie les coordonnées associées au plan image à celles associées au plan objet est linéaire :

x_i = Mx_o

y_i = My_o

où M est le grandissement du système. Réécrivons alors la transmission du plan objet donné précédemment sous une forme légèrement modifiée:

où nous avons simplement multiplié et divisé les différents termes de l'exposant par M, le grandissement du système. Maintenant, nous pouvons transcrire les équations précédentes dont les coordonnées étaient relatives au plan image en se servant des coordonnées plan objet, pour obtenir,

On peut maintenant proposer un autre changement de coordonnées en reliant les nombres d'onde du plan objet aux nombres d'onde du plan image :

pour obtenir notre équation finale pour le plan image en termes de coordonnées propres au plan image et de nombres d'onde liés aussi au plan image :

L'optique de Fourier nous apprend que les nombres d'onde peuvent être exprimés dans un système de coordonnées sphériques :

k_x = ksin θcos ϕ

k_y = ksin θsin ϕ

Si nous considérons une composante spectrale pour laquelle φ = 0, alors la transformation des coordonnées entre les nombres d'onde du plan objet et ceux du plan image se met sous la forme :

kⁱsin θⁱ = ksin θ / M

C'est une autre façon d'écrire la condition des sinus d'Abbe, qui ne fait que refléter le principe d'incertitude d'Heisenberg pour des couples de transformées de Fourier. En d'autres termes alors que l'extension spatiale de toute fonction est agrandie (par un facteur d'agrandissement M), son extension spectrale est contractée par le même facteur, M, de telle sorte que le produit Largeur-étendue fréquentielle reste inchangé.

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