- Équivalence des distances
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Étant donné un espace topologique métrisable (X, T), on peut trouver diverses distances qui définissent la même topologie T. Par exemple, la topologie usuelle de
peut être définie par la distance d(x,y) = | x − y | , mais aussi par 
, ou tout multiple de d par un réel strictement positif. Il faut donc préciser les "équivalences" entre de telles distances.Définitions
- Deux distances d1 et d2 sont dites topologiquement équivalentes si les topologies associées sont identiques.
- Deux distances d1 et d2 sont dites uniformément équivalentes si l'identité de
est uniformément continue et sa réciproque aussi. - Deux distances d1 et d2 sont dites bornologiquement équivalentes si elles sont uniformément équivalentes et si les deux distances définissent les mêmes parties bornées ;
- Deux distances d1 et d2 sont dites Lipschitz-équivalentes s'il existe des constantes a et b strictement positives telles que
.
Toutes ces relations entre distances sont des relations d'équivalences.
Exemples
L'exemple suivant[1] permet de mettre en évidence la non équivalence des différentes notions d'équivalences décrites ci-dessus : on peut munir
des quatre distances :d1(x,y) = | x − y | ,
d2(x,y) = | x3 − y3 | ,
d3(x,y) = min{1,d1(x,y)},
d4(x,y) = d1(x,y) / (1 + d1(x,y)).
On vérifie alors que les distances d1 et d2 sont topologiquement équivalentes mais ne sont pas uniformément équivalentes, que les distances d1 et d3 sont uniformément équivalentes mais ne sont pas bornologiquement équivalentes, puis que les distances d3 et d4 sont bornologiquement équivalentes mais ne sont pas Lipschitz-équivalentes.
Notes et références
- Y. Sonntag, "Topologie et analyse fonctionnelle"
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