Variables de Mandelstam

En physique théorique, les variables de Mandelstam sont des quantités numériques qui contiennent, l'énergie, la quantité de mouvement et les angles de particules lors d'une collision. Elles sont des invariant de Lorentz.

Les variables de variables de Mandelstam s, t, u sont définies comme suit :

$s = (p 1 + p 2) 2 = (p 3 + p 4) 2$
$t = (p 1 - p 3) 2 = (p 2 - p 4) 2$
$u = (p 1 - p 4) 2 = (p 2 - p 3) 2$

Où p₁ et p₂ sont les quadri-moments des particules incidentes et p₃ etp₄ les quadri-moments des particules créées.

s est aussi connu comme le carré de l'énergie dans le centre de masse et t comme le carré du transfert de quantité de mouvement.

Sommaire

1 Détails
- 1.1 Limite à haute énergie
- 1.2 Addition
  - 1.2.1 Preuve
2 Voir aussi
3 Références

Détails

Limite à haute énergie

Dans la limite relativiste, l'énergie de masse peut être négligée, donc par exemple :

$s=(p_1+p_2)^2=p_1^2+p_2^2+2 p_1 \cdot p_2 \approx 2 p_1 \cdot p_2 \,$

par ce que $p_1^2 = m_1^2$ et $p_2^2 = m_2^2.$

En résumé,

$s \approx$	$2 p_1 \cdot p_2 \approx$	$2 p_3 \cdot p_4$
$t \approx$	$-2 p_1 \cdot p_3 \approx$	$-2 p_2 \cdot p_4$
$u \approx$	$-2 p_1 \cdot p_4 \approx$	$-2 p_3 \cdot p_2$

Addition

Notez que

$s+t+u = m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 + m_4^2 \,$

avec $m i$ la masse de la particule $i$ (et $c = 1$ ).

Preuve

Cette preuve nécessite les relations suivantes :

Le carré de la quadri-impulsion est la masse de la particule (avec $c = 1$ ),

$p_i^2 = m_i^2$
Et la conservation de la quadri-impulsion,

$p 1 + p 2 = p 3 + p 4$

et donc

$p 1 = - p 2 + p 3 + p 4$

En développant les carrés, on obtient

$s=(p_1+p_2)^2=p_1^2 + p_2^2 + 2p_1 \cdot p_2$

$t=(p_1-p_3)^2=p_1^2 + p_3^2 - 2p_1 \cdot p_3$

$u=(p_1-p_4)^2=p_1^2 + p_4^2 - 2p_1 \cdot p_4$

Puis en les ajoutant, on obtient

$s+t+u =3p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 + p_4^2 + 2p_1 ( p_2 - p_3 - p_4 )$

Maintenant en utilisant le fait que $p 1 = - p 2 + p 3 + p 4$ , on a que

$2p_1 ( p_2 - p_3 - p_4 ) = -2p_1^2$

et donc

$s+t+u =p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 + p_4^2$

Et finalement en utilisant $p_i^2 = m_i^2$

$s+t+u = m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 + m_4^2$

Voir aussi

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mandelstam variables » (voir la liste des auteurs)

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Physique des particules

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