Théorème de Bolyai-Gerwein
- Théorème de Bolyai-Gerwein
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Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwein
En géométrie, le théorème de Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwien (ou encore théorème de Bolyai, théorème de Bolyai-Gerwien ou théorème de Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwien) énonce que, lorsque deux polygones ont même aire, on peut découper le premier en un nombre fini de polygones et les réarranger pour former le second polygone.
Par réarrangement, on entend qu'il est appliqué une translation et une rotation à chaque morceau polygonal.
Histoire
Farkas Bolyai, père de Janos Bolyai, fut le premier à formuler la question. Le résultat fut démontré indépendamment plusieurs fois au cours du XIXe siècle. William Wallace fut le premier à démontrer cette propriété en 1807. Gerwien prouva le théorème in 1833 ; mais selon d'autres sources, Farkas Bolyai et Gerwien l'ont prouvé en 1833 et 1835, respectivement. Cette démonstration ne fait pas appel à l'axiome du choix.
Généralisations
- Généralisation aux dimensions supérieures
- La formulation équivalente de ce problème à des polyèdres de dimension 3 est l'objet du troisième problème de Hilbert. Max Dehn prouva en 1900, que cette extension n'était pas possible ; résultat qui mena 24 ans plus tard au paradoxe de Banach-Tarski.
- Généralisation à des figures curvilignes
- « peut-on découper une figure de bords curvilignes en morceaux et les réarranger pour former un carré (ou toute autre figure) de même aire ? » La réponse dépend de ce que l'on entend par morceaux.
- Le cas où la figure de départ est un disque correspond au problème de Tarski formulé en 1926 : « Peut-on découper un disque de sorte que les morceaux quelconques (et en nombre fini) permettent de construire un carré de même aire ? » Une réponse positive a été apportée par Laczkovitch en 1988.
Liens externes
Références bibliographiques
- Jean-Paul Delahaye, Les inattendus mathématiques : Art, casse-tête, paradoxes, superstitions, Belin, coll. « Pour la science », 2004 (ISBN 2-84245-073-6) (ISSN 0224-5159), « ch. 6, Les découpages artistiques ».
ouvrage de vulgarisation
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2010.
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