Suite de padovan

Suite de padovan

Suite de Padovan

Construction d'une suite de Padovan à l'aide de triangles équilatéraux

La suite de Padovan est une suite d'entiers définie par récurrence par

\mathcal{P}_{n+3}=\mathcal{P}_{n+1}+\mathcal{P}_{n}\,, pour tout entier n

C'est une suite récurrente linéaire qui ressemble dans sa forme à la suite de Fibonacci, à une nuance près : la somme des termes de rang n et n+1 ne donne pas le terme de rang n + 2 mais celui de rang n + 3

Lorsque les trois valeurs initiales [1] sont

\mathcal P(0) = \mathcal P(1) = \mathcal P(2) = 1

la suite des premiers termes est

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4 , 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, ...

La suite porte le nom de l'architecte Richard Padovan et est associée au nombre plastique étudié par l'architecte puis moine Hans van der Laan (1904-91) [2]. Le mathématicien Ian Stewart, dans ses Mathematical Recreations, évoque et étudie cette suite et lui attribue le nom de suite de Padovan [3]

Le terme général de la suite de Padovan est lié au trois racines du polynôme de degré trois x3 − x − 1. Ce polynôme possède une racine réelle r1 et deux racines complexes conjugués r2 et r3

Lorsque les trois premiers termes sont 1, 1 et 1, on a

\mathcal P(n) = \frac{(1-r_2)(1-r_3)}{(r_1-r_2)(r_1-r_3)}r_1^n + \frac{(1-r_3)(1-r_1)}{(r_2-r_3)(r_2-r_1)}r_2^n + \frac{(1-r_1)(1-r_2)}{(r_3-r_1)(r_3-r_2)}r_3^n

Les formules de Cardan donnent pour la racine réelle :

r_1=\frac{\left(9-\sqrt{69}\right)^{1/3}+\left(9+\sqrt{69}\right)^{1/3}}{18^{1/3}}\approx 1,32472

Ce nombre s'appelle nombre plastique ou nombre d'argent.

Cette suite d'entiers est toujours strictement croissante à partir du rang trois et le quotient de deux termes consécutifs tend vers le nombre plastique.

Lorsque ses trois premiers termes sont 1, 1 et 1, sa fonction génératrice est :

F(X)=\frac{1+X}{1-X^2-X^3}
  1. ↑ On trouve parfois une initialisation différente comme dans la Padovan sequence (sequence A000931) dans OEIS
  2. ↑ (en)Richard Padovan presents the plastic number, Résumé du nexus Network journal
  3. ↑ (en) Tales of a Neglected Number, Mathematicla Recreations by Ian Stewart

Voir aussi

Liens internes

Liens externes

Ce document provient de « Suite de Padovan ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Suite de padovan de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Suite de Padovan — Construction d une suite de Padovan à l aide de triangles équilatéraux La suite de Padovan est une suite d entiers définie par récurrence par , pour tout entier n C est une suite récurrente linéaire qui ressemble dans sa forme à l …   Wikipédia en Français

  • Suite de fibonacci — La suite de Fibonacci est une suite d entiers très connue. Elle doit son nom à un mathématicien italien connu sous le nom de Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci, décrit la croissance d… …   Wikipédia en Français

  • Suite de Fibonacci — La suite de Fibonacci est une suite d entiers très connue. Elle doit son nom à Leonardo Fibonacci, dit Leonardo Pisano, un mathématicien italien du XIIIe siècle qui, dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci,… …   Wikipédia en Français

  • Fibonacci number — Suite de Fibonacci La suite de Fibonacci est une suite d entiers très connue. Elle doit son nom à un mathématicien italien connu sous le nom de Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci,… …   Wikipédia en Français

  • Identité de Cassini — Suite de Fibonacci La suite de Fibonacci est une suite d entiers très connue. Elle doit son nom à un mathématicien italien connu sous le nom de Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci,… …   Wikipédia en Français

  • Nombre Tetranacci — Suite de Fibonacci La suite de Fibonacci est une suite d entiers très connue. Elle doit son nom à un mathématicien italien connu sous le nom de Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci,… …   Wikipédia en Français

  • Nombre de Fibonacci — Suite de Fibonacci La suite de Fibonacci est une suite d entiers très connue. Elle doit son nom à un mathématicien italien connu sous le nom de Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci,… …   Wikipédia en Français

  • Nombres de Fibonacci — Suite de Fibonacci La suite de Fibonacci est une suite d entiers très connue. Elle doit son nom à un mathématicien italien connu sous le nom de Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci,… …   Wikipédia en Français

  • Séquence de Fibonacci — Suite de Fibonacci La suite de Fibonacci est une suite d entiers très connue. Elle doit son nom à un mathématicien italien connu sous le nom de Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci,… …   Wikipédia en Français

  • Nombre Plastique — Le nombre plastique, de symbole ψ (à lire psi), est l unique solution réelle de l équation d ordre 3 : ψ3 = 1 + ψ et qui s exprime par : C est un nombre algébrique irrationnel. À l instar du nombre d or, il est à la base d un système de …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”