Points de brocard

Points de Brocard

En géométrie, le premier point de Brocard d'un triangle ABC est le point $Ω$ tels que les angles $\widehat{\Omega AB}$ $\widehat{\Omega BC}$ et $\widehat{\Omega CA}$ orientés positivement soient égaux.

Le second point de Brocard du triangle est le point $Ω'$ tels que les angles $\widehat{\Omega'BA}$ $\widehat{\Omega'CB}$ et $\widehat{\Omega'AC}$ orientés positivement soient égaux.

L'existence de ces deux points est une conséquence de la version trigonométrique du théorème de Ceva.

Tous les angles $\widehat{\Omega AB}$ $\widehat{\Omega BC}$ $\widehat{\Omega CA}$ $\widehat{\Omega' BA}$ $\widehat{\Omega'CB}$ et $\widehat{\Omega'AC}$ sont égaux à l'angle de Brocard du triangle, noté $ω$ et qui peut être calculé à partir de la formule :

$\tan \omega = \frac{S}{a^2 + b^2 + c^2}$

où S désigne la surface du triangle.

Enfin, on appelle droite de Brocard l'une quelconque des droites joignant un sommet du triangle à l'un des points de Brocard.

Les coordonnées barycentriques du premier point de Brocard sont $\left(\frac{ac}{b}:\frac{ba}{c}:\frac{cb}{a}\right)$ et celles du second point de Brocard sont $\left(\frac{ab}{c}:\frac{bc}{a}:\frac{ca}{b}\right)$ .

Propriétés remarquables

Les deux points de Brocard sont conjugués isogonaux l'un de l'autre.
La médiane issue d'un sommet du triangle, la symédiane issue d'un second sommet et une des droites de Brocard issue d'un troisième sommet sont concourantes.

Voir : Construction avec des cercles tangents à un côté passant par deux sommets

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Catégorie : Géométrie du triangle

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