Points de brocard

Points de Brocard

En géométrie, le premier point de Brocard d'un triangle ABC est le point $Ω$ tels que les angles $\widehat{\Omega AB}$ $\widehat{\Omega BC}$ et $\widehat{\Omega CA}$ orientés positivement soient égaux.

Le second point de Brocard du triangle est le point $Ω'$ tels que les angles $\widehat{\Omega'BA}$ $\widehat{\Omega'CB}$ et $\widehat{\Omega'AC}$ orientés positivement soient égaux.

L'existence de ces deux points est une conséquence de la version trigonométrique du théorème de Ceva.

Tous les angles $\widehat{\Omega AB}$ $\widehat{\Omega BC}$ $\widehat{\Omega CA}$ $\widehat{\Omega' BA}$ $\widehat{\Omega'CB}$ et $\widehat{\Omega'AC}$ sont égaux à l'angle de Brocard du triangle, noté $ω$ et qui peut être calculé à partir de la formule :

$\tan \omega = \frac{S}{a^2 + b^2 + c^2}$

où S désigne la surface du triangle.

Enfin, on appelle droite de Brocard l'une quelconque des droites joignant un sommet du triangle à l'un des points de Brocard.

Les coordonnées barycentriques du premier point de Brocard sont $\left(\frac{ac}{b}:\frac{ba}{c}:\frac{cb}{a}\right)$ et celles du second point de Brocard sont $\left(\frac{ab}{c}:\frac{bc}{a}:\frac{ca}{b}\right)$ .

Propriétés remarquables

Les deux points de Brocard sont conjugués isogonaux l'un de l'autre.
La médiane issue d'un sommet du triangle, la symédiane issue d'un second sommet et une des droites de Brocard issue d'un troisième sommet sont concourantes.

Voir : Construction avec des cercles tangents à un côté passant par deux sommets

Portail de la géométrie
Portail des mathématiques

Ce document provient de « Points de Brocard ».

Catégorie : Géométrie du triangle

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Points de brocard de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

Points de Brocard — En géométrie, le premier point de Brocard d un triangle ABC est le point Ω tels que les angles et orientés positivement soient égaux. Le second point de Brocard du triangle est le point Ω tels que les angles … Wikipédia en Français
Brocard-Punkte — sind spezielle Punkte im Dreieck; benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Brocard (1845−1922). Brocard wurde am bekanntesten für den folgenden Satz: Konstruktion eines Brocard Punkts In einem Dreieck ΔABC mit den Seiten a,b,c gibt es… … Deutsch Wikipedia
Brocard — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Brocard », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) Brocard est un mot français qui a plusieurs… … Wikipédia en Français
Brocard points — are special points within a triangle. They are named after Henri Brocard (1845 ndash; 1922), a French mathematician. DefinitionIn a triangle ABC with sides a , b , and c , where the vertices are labeled A , B and C in counterclockwise order,… … Wikipedia
Brocard-Punkt — Brocard Punkte sind spezielle Punkte im Dreieck; benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Brocard (1845−1922). Brocard wurde am bekanntesten für den folgenden Satz: In einem Dreieck ΔABC mit den Seiten a,b,c gibt es genau einen Punkt P… … Deutsch Wikipedia
Brocard — can refer to: * A legal term * Brocard points, Brocard triangle, Brocard circle, geometrical entities discovered by Henri Brocard. * Henri Brocard, a nineteenth century mathematician. * Saint Brocard, first of the priors of the Carmelite Order… … Wikipedia
Point de Brocard — Points de Brocard En géométrie, le premier point de Brocard d un triangle ABC est le point Ω tels que les angles et orientés positivement soient égaux. Le second point de Brocard du triangle est le point Ω tels que les angles … Wikipédia en Français
Brocard triangle — In geometry, the Brocard triangle of a triangle is a triangle formed by the intersection of line from a vertex to its corresponding Brocard point and a line from another vertex to its corresponding Brocard point and the other two points… … Wikipedia
Cercle de Brocard — En géométrie, le cercle de Brocard d un triangle est le cercle passant par les points de Brocard, le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine[1] . Il a pour diamètre le segment ayant pour extrémités le centre du cercle circonscrit et… … Wikipédia en Français
Brocard circle — In geometry, the Brocard circle (or seven point circle) for a triangle is a circle having a diameter of the line segment between the circumcenter and symmedian. It contains the Brocard points. [mathworld|urlname=BrocardCircle|title=Brocard… … Wikipedia

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Points de brocard