Ouverture rayonnante

Sommaire

1 Dualité des équations de Maxwell
- 1.1 Notations
- 1.2 Equations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère

Dualité des équations de Maxwell

Nous allons considérer deux espaces différents :

dans le premier, il n'existe que des densités de courant électrique
dans le second, il n'existe que des densités de courant magnétique

Notations

$\vec{j}(\vec{r},t)$ le vecteur densité de courant (en $A . m - 2$ ).
$\vec{H}(\vec{r},t)$ le vecteur champ magnétique (en $A . m - 1$ ).
$\vec{A}(\vec{r},t)$ le potentiel vecteur électrique (en $A . H$ ).
$\vec{m}(\vec{r},t)$ le vecteur densité magnétique de courant (en $V . m - 2$ ).
$\vec{E}(\vec{r},t)$ le vecteur champ électrique (en $V . m - 1$ ).
$\vec{F}(\vec{r},t)$ le potentiel vecteur magnétique (en $V . F$ ).
$\epsilon_0\,$ la constante diélectrique du vide (en $F . m - 1$ ).
$\mu_0\,$ la perméabilité magnétique du vide (en $H . m - 1$ ).
$R$ désignera le distance séparant le point d'obsevation de l'objet rayonnant (en $m$ ).

Equations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère

$\nabla \times \vec{E} = - \vec{m} - \mu_0 \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} = - \vec{m} - j \omega \mu_0 \vec{H}$
$\nabla \times \vec{H} = \vec{j} + \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \vec j + j \omega \epsilon_0 \vec{E}$

**Liens entre ces deux espaces**
Espace avec $\vec{j}$ ( $\vec{m}=\vec{0}$ )	Espace avec $\vec{m}$ ( $\vec{j}=\vec{0}$ )
$\vec{H} = \frac{\nabla \times \vec{A}}{\mu_0}$	$\vec{E} = - \frac{\nabla \times \vec{F}}{\epsilon_0}$
$(\nabla^2 + k_0^2) \vec{A} = - \mu_0 \vec{j}$	$(\nabla^2 + k_0^2) \vec{F} = - \epsilon_0 \vec{m}$
$\vec{A} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \iiint{\vec{j} \frac{e^{-j k_0 R}}{R} dV}$	$\vec{F} = \frac{\epsilon_0}{4 \pi} \iiint{\vec{m} \frac{e^{-j k_0 R}}{R} dV}$
En zone lointaine ( $k 0 R > > 1$ )
$\vec{H} = \frac{\vec{e_r} \times \vec{E}}{Z_0}$
$Z_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}$

Catégorie :

Outils théoriques de l'électromagnétisme

Wikimedia Foundation. 2010.

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