Livre VIII des Éléments d'Euclide
- Livre VIII des Éléments d'Euclide
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Le Livre VIII des Éléments d'Euclide poursuit l'étude de la proportionnalité débutée dans le Livre VII. On peut l'interpréter comme une étude des suites géométriques d'entiers.
Il comporte 27 propositions.
Les propositions
On donne ci-dessous quelques exemples de propositions :
- Propriétés des suites géométriques. La prop.1 énonce que, dans une suite géométrique finie d'entiers, si les extrêmes sont premiers entre eux, alors les termes de la suite sont les plus petits pouvant former une suite géométrique de même raison. La prop.2 explique comment construire une telle suite. La prop.3 expose une réciproque. Si dans une suite géométrique, le premier terme ne divise pas le second, aucun terme ne divisera un autre terme (prop.6). Si le premier terme divise le dernier, il divise le second (prop.7).
- Propriétés de la proportionnalité et de la divisibilité. Le Livre approfondit les notions relatives à la proportionnalité d'entiers. La prop.5 énonce que les nombres plans sont en raison composée des côtés. un carré divise un carré si et seulement si le côté du premier carré divise le côté du second (prop.14 et 16). De même pour un cube (prop.15 et 17). Dans une suite géométrique de trois termes, si le premier est un carré, le troisième aussi (prop.22). Dans une suite géométrique de quatre termes, si le premier est un cube, le quatrième aussi (prop.23).
- Propriétés des moyennes proportionnelles. Si a et b sont deux carrés, il est possible de trouver un nombre c tel que a est à c comme c est à b (prop.11). La prop.18 et 20 généralise cette propriété à deux nombres plans semblables. Si ce sont deux cubes, on trouvera deux nombres c et d tels que a est à c, comme c à d et comme d à b (prop.12). La prop.19 et 21 généralise cette propriété à deux nombres solides semblables. Si la question est résolue pour des cubes d'entiers, la recherche analogue de deux moyennes proportionnelles entre deux segments, l'un étant le double de l'autre, donne lieu au problème du duplication du cube, qui se révèlera impossible à résoudre à la règle et au compas.
Bibliographie
- Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert Blanchard (1993)
- Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac [détail des éditions]
Lien externe
Document en ligne sur le site Gallica de la BNF
Catégorie :
- Livre historique de mathématiques
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2010.
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