Inegalite de Bessel

Inegalite de Bessel

Inégalité de Bessel

En géométrie euclidienne ou hilbertienne, l'inégalité de Bessel est un résultat étroitement lié à la question de la projection orthogonale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel.

Sommaire

Énoncé pour une famille finie

Dans tout l'article E désigne un espace préhilbertien sur le corps K égal à celui des nombres réels ou complexes. Le produit scalaire est noté <, > et la norme associée : || ||. La valeur absolue ou le module d'un scalaire λ est noté |λ|.

Enoncé pour une famille finie —  Soit une famille orthonormale de vecteurs (e1, ..., en). Alors pour tout vecteur x de E, l'égalité suivante est vérifiée :

\sum_{i=1}^n \left|\langle x,e_i \rangle\right|^2\leq\|x\|^2

En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'espace vectoriel engendré par les vecteurs e1, ..., en.


Généralisation à une famille de vecteurs orthonormaux

Le résultat précédent reste vrai si la famille (ei) est indexée par un ensemble I quelconque (ni fini, ni nécessairement dénombrable).

Enoncé dans le cas général —  Soit une famille orthonormale de vecteurs (ei). Alors pour tout vecteur x de E, l'égalité suivante est vérifiée :

\sum_{i \in I} \left|\langle x,e_i \rangle\right|^2\leq\|x\|^2

En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'adhérence de l'espace vectoriel engendré par la famille.

Cette majoration montre la convergence absolue de la série de terme général <ei, x>. Cette série contient, en conséquence, au plus un nombre dénombrable de termes non nuls.

Si E est un espace de Hilbert, et si la famille est une base de Hilbert, alors la majoration est une égalité dénommée égalité de Parseval. Une conséquence est la suivante :

Proposition —  Soit x un vecteur élément de l'adhérence de l'espace vectoriel engendré par la famille orthonormale de vecteurs (ei). Il existe une unique écriture de x comme limite d'une série de terme général λiei. La série est la suivante :

x=\sum_{i\in I} \langle x,e_i\rangle \cdot e_i

Si la famille (ei) est simplement orthogonale et formée de vecteurs non nuls, la formule devient :

\sum_{i\in I} \left|\frac{\langle x,e_i \rangle}{||e_i||}\right|^2\leq\|x\|^2


Voir aussi

Liens externes

Références

  • Walter Rudin, Analyse réelle et complexe : cours et exercices [détail des éditions]
  • S. Lang Analyse Réelle InterEditions, Paris 1977 (ISBN 2729600595)
  • Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
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