Forme symplectique

Forme symplectique

En géométrie différentielle, sur un fibré vectoriel réel E → P , une forme symplectique ω est la donnée d'une famille de formes bilinéaires non dégénérées alternées ωx sur les fibres Ex dépendant de manière C du point x de P. De manière plus rigoureuse, une forme symplectique est une section globale x\mapsto \omega_x du fibré E^*\wedge E^*\rightarrow P qui soit en tout point non dégénérée.

Cependant, sur une variété différentielle M, une forme symplectique ω est une 2-forme différentielle non dégénérée et fermée. Plus explicitement, on impose les conditions suivantes :

  • la forme ω est non dégénérée c'est-à-dire qu' en tout point x, la forme bilinéaire antisymétrique ωx est non dégénérée.

En particulier, (TM,ω) est un fibré symplectique, mais la définition d'une forme symplectique ne se limite pas à cette simple propriété. La condition d'être fermée implique l'unicité locale fournie par le théorème de Darboux.

Exemples

  • Si F\rightarrow P est un fibré vectoriel, alors il existe une forme symplectique sur le fibré vectoriel E=F\oplus F^* donnée par :
\omega\left[f_1\oplus f_1^*,f_2\oplus f_2^*\right]=f_1^*(f_2)-f_2^*(f_1)

Ce premier exemple montre la naturalité des formes symplectiques. Contrairement aux métriques riemanniennes, leur existence est mal comprise, mais au moins, elles viennent naturellement.

  • Si (M,ω) est une variété symplectique de dimension 2n, et que P est une sous-variété différentielle de M, alors :
    • Le fibré tangent de M se restreint en un fibré de rang 2n sur P, noté T_PM\rightarrow P. Et (TPM,ω) est un fibré symplectique.
    • Si en tout point x de P, la forme bilineaire ωx est non degeneree en restriction a l'espace tangent TxP, alors, ι * ω est une forme symplectique sur P.

Existence

L'existence des formes symplectiques sur les varietes differentielles est une question ouverte.




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