Dimension topologique
- Dimension topologique
-
En mathématiques, la dimension topologique est une notion destinée à étendre à des espaces métriques la notion algébrique de dimension d'un espace vectoriel.
Définition
Soit E un espace métrisable à base dénombrable. On définit la dimension topologique de E par récurrence :
- Si E est vide, sa dimension vaut -1 par convention, sinon :
- 0) L'espace E est de dimension 0 si sa topologie admet une base de parties à la fois ouvertes et fermées (clopen en anglais), soit encore une base de parties à frontière vide (ou de dimension -1). (Ceci implique que E est totalement discontinu.)
- 1) L'espace E est au plus de dimension 1 si sa topologie admet une base d'ouverts à frontière de dimension au plus 0.
- n) L'espace E est de dimension au plus n si sa topologie admet une base d'ouverts à frontière de dimension au plus n-1.
Enfin l'espace E non vide est dit de dimension n s'il est de dimension au plus n mais n'est pas de dimension au plus n-1, et de dimension infinie s'il n'existe pas de n tel qu'il soit de dimension au plus n.
Exemples
La dimension topologique introduite ici, à valeur entière, est une notion topologique alors que la notion de dimension de Hausdorff, à valeur réelle, est métrique, et dépend fortement de la distance utilisée. Il existe cependant une belle relation entre les deux quand E est un espace compact métrisable :
- La dimension topologique de E est le minimum des dimensions de Hausdorff de E pour toutes les distances sur E compatibles avec sa topologie.
Une fractale est un espace métrique dont la dimension topologique est strictement inférieure à la dimension de Hausdorff.
Article connexe
Dimension de Minkowski–Bouligand
Wikimedia Foundation.
2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Dimension topologique de Wikipédia en français (auteurs)
Regardez d'autres dictionnaires:
Dimension Topologique — On donne ici la définition classique, par récurrence, de la dimension topologique d un espace métrisable à base dénombrable E. Si E est vide, sa dimension vaut 1 par convention ; sinon on pose : 0) L espace E est de dimension 0 si sa… … Wikipédia en Français
dimension topologique — topologinis elemento matmuo statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. feature dimension; feature size vok. Strukturgröße, f rus. топологический размер элемента, m pranc. dimension topologique, f … Radioelektronikos terminų žodynas
Dimension de Hamel — Dimension Voir « dimension » sur le Wiktionnaire … Wikipédia en Français
Dimension spatiale — Dimension Voir « dimension » sur le Wiktionnaire … Wikipédia en Français
Dimension Combinatoire — Sans rentrer dans les détails, bien que cette notion de dimension redonne la dimension intuitive d un espace (1 pour une courbe, 2 pour une surface, etc.), elle ne s applique en réalité (c est à dire avec pertinence) qu à certains espaces… … Wikipédia en Français
TOPOLOGIQUE (ALGÈBRE) — L’algèbre topologique est consacrée à l’étude d’ensembles munis d’une topologie et d’une structure algébrique définie par des lois de composition continues (cf. TOPOLOGIE, ALGÈBRE). Les exemples les plus importants sont les groupes topologiques,… … Encyclopédie Universelle
Dimension D'un Espace Vectoriel — En mathématiques, la dimension d un espace vectoriel E est le cardinal (c est à dire le nombre de vecteurs) de toute base de E. Elle est parfois appelée la dimension de Hamel ou la dimension algébrique à distinguer d autres types de dimension.… … Wikipédia en Français
Dimension — Sur les autres projets Wikimedia : « Dimension », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa… … Wikipédia en Français
Dimension de Krull — En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie algébrique, la taille et la complexité d une variété algébrique (ou d un schéma) est d abord mesurée sa dimension. Elle est basée sur la topologie de Zariski et coïncide avec l intuition… … Wikipédia en Français
Dimension fractale — Mesure de la dimension fractale de la côte de Grande Bretagne En géométrie fractale, la dimension fractale, D, est une grandeur qui a vocation à traduire la façon qu a un ensemble fractal de remplir l espace, à toutes les échelles. Dans le cas… … Wikipédia en Français
