Convergence ponctuelle

Convergence ponctuelle

Convergence simple

En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C'est une définition peu exigeante : elle est plus facile à établir que d'autres formes de convergence, notamment la convergence uniforme et le passage à la limite possède donc moins de propriétés : une suite de fonctions continues peut ainsi converger simplement vers une fonction qui ne l'est pas.

Contre-exemple : les fonctions continues en vert fn(x)=sinn(x) convergent simplement vers la fonction discontinue en rouge.

Sommaire

Définition

Convergence simple

  • Soient X\! et Y\,\! deux espaces topologiques, soit (f_{n})_{n} \,\! une suite de fonctions définies sur X\,\! à valeurs dans Y\,\!. On dit que la suite de fonctions (f_{n})_{n}\,\! converge simplement si :
\forall x \in X, la suite (f_{n}(x))_{n}\,\! converge dans Y\,\!
  • Si l'application f: X\to Y est telle que \forall x \in X, \ f(x)=\lim_{n \rightarrow + \infty}f_{n}(x) on dit que la suite de fonctions (f_{n})_{n}\,\! converge simplement vers la fonction f\,, ou que f est 'limite simple' de la suite (f_{n})_{n}\!.

Remarque

Si l'espace Y est supposé séparé, l'éventuelle limite simple d'une suite de fonctions à valeurs dans Y est toujours unique.

Il convient également de remarquer que la topologie de l'espace de départ X n'intervient pas du tout dans la définition : on peut donc se passer de structure topologique sur celui-ci, et définir cette notion pour tout ensemble X.

Topologie faible

Définition

Il existe une topologie associée à la convergence simple, on l'appelle en général topologie faible. Cette topologie est souvent définie à l'aide d'une base de voisinages. On la définit de la manière suivante:

Soit f\; une fonction de X\,\! dans Y\,\! deux espaces topologiques tel que Y\,\! soit séparé. Soit x\,\! un élément de X\,\! tel que f\; soit définie en x\,\!. On considère alors \mathcal V(f(x)) une base de voisinage de f(x)\,\! pour la topologie de Y\,\!. À chaque élément V_{f(x)}\; de \mathcal V(f(x)) on associe le sous ensemble W_{(f,x)}\; des fonctions \phi \; de X\,\! dans Y\,\! définies en x\,\! et tel que \phi (x) \; soit élément de V_{f(x)}\;. L'union de tous les ensembles de type W_{(f,x)}\; quand f\; parcourt l'ensemble des fonctions et x\,\! parcourt le domaine de définition de f\; forme une base de voisinage. La topologie associée est appelée la topologie faible.

Remarques

On peut démontrer que la convergence simple d'une suite de fonctions (f_n)_n\; est équivalent à la convergence pour la topologie faible de la suite.

Si X\,\! n'est pas un ensemble fini, alors il n'existe pas de distance associée à cette topologie. Nous savons en effet que tout espace métrique est muni d'une topologie déduite. Cette topologie ne peut jamais être la topologie faible.

Propriétés

La topologie faible est un critère de convergence peu contraignant comme son nom l'indique. Il existe donc moins de propriétés que dans le cas de la convergence uniforme par exemple.

  • La convergence uniforme implique la convergence simple. La démonstration découle directement des définitions. En revanche la réciproque est fausse comme le montre le contre-exemple illustré graphiquement en début d'article.
  • La convergence simple ne conserve pas la continuité, comme le montre le contre-exemple illustré graphiquement en début d'article.
  • Le passage à la limite pour l'intégrale des limites simples a contribué à motiver l'introduction par Henri Lebesgue de sa notion de fonction mesurable. La préservation de l'intégrabilité locale n'est en effet pas vrai au sens de Riemann employé dans le cadre de la théorie de l'intégrale de Riemann.

Convergence simple dans un espace métrique

On suppose maintenant que Y\, est un espace métrique, c'est-à-dire que Y\, est muni d'une distance d \, et de la topologie qui lui est associée. On sait d'abord qu'un espace métrique est toujours séparé. On peut alors traduire la notion de convergence simple en termes de « epsilon »:

Une suite de fonctions (f_{n})_{n}\, converge simplement sur A\, vers une fonction f\, si et seulement si :

\forall x \in A,\forall \epsilon >0, \exists N_{\epsilon,x}, \forall n \in \N, n \ge N_{\epsilon,x} \Rightarrow d(f_{n}(x),f(x))<\epsilon

Voir aussi


  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Convergence simple ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Convergence ponctuelle de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • convergence — [ kɔ̃vɛrʒɑ̃s ] n. f. • 1671; de convergent 1 ♦ Le fait de converger. La convergence de deux lignes. Convergence d un système optique, d une lentille. Rapport de convergence. ⇒ grandissement. Météor. Convergence de deux masses d air. Géol. Zone de …   Encyclopédie Universelle

  • Convergence Simple — En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est à dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C est une définition peu exigeante : elle est plus… …   Wikipédia en Français

  • Convergence simple — En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est à dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C est une définition peu exigeante : elle est plus… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier — Théorème de Dirichlet (Séries de Fourier) En analyse, le théorème de Dirichlet (ou de Jordan Dirichlet) est un résultat de convergence ponctuelle pour les séries de Fourier. Une première version du théorème a été prouvée par Dirichlet en 1829[1] …   Wikipédia en Français

  • Coefficient de Fourier — Série de Fourier Le premier graphe donne l allure du graphe d une fonction périodique ; l histogramme donne les valeurs des modules des coefficients de Fourier correspondant aux différentes fréquences. En analyse, les séries de Fourier sont… …   Wikipédia en Français

  • Coefficients de Fourier — Série de Fourier Le premier graphe donne l allure du graphe d une fonction périodique ; l histogramme donne les valeurs des modules des coefficients de Fourier correspondant aux différentes fréquences. En analyse, les séries de Fourier sont… …   Wikipédia en Français

  • Décomposition d'un signal non sinusoïdal en séries de Fourier — Série de Fourier Le premier graphe donne l allure du graphe d une fonction périodique ; l histogramme donne les valeurs des modules des coefficients de Fourier correspondant aux différentes fréquences. En analyse, les séries de Fourier sont… …   Wikipédia en Français

  • Définition et décomposition en série de Fourier d'un signal non sinusoidal — Série de Fourier Le premier graphe donne l allure du graphe d une fonction périodique ; l histogramme donne les valeurs des modules des coefficients de Fourier correspondant aux différentes fréquences. En analyse, les séries de Fourier sont… …   Wikipédia en Français

  • Définition et décomposition en série de Fourier d'un signal non sinusoïdal — Série de Fourier Le premier graphe donne l allure du graphe d une fonction périodique ; l histogramme donne les valeurs des modules des coefficients de Fourier correspondant aux différentes fréquences. En analyse, les séries de Fourier sont… …   Wikipédia en Français

  • Serie de Fourier — Série de Fourier Le premier graphe donne l allure du graphe d une fonction périodique ; l histogramme donne les valeurs des modules des coefficients de Fourier correspondant aux différentes fréquences. En analyse, les séries de Fourier sont… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”