Commutativité

Commutativité

Loi commutative

Exemple montrant la commutativité de l'addition (3 + 2 = 2 + 3)

En mathématiques, particulièrement en algèbre générale, une loi de composition interne \star sur un ensemble S est commutative si, pour tous x et y dans S,

 x \star y = y \star x.

Les exemples les plus courants de lois commutatives sont l'addition et la multiplication des entiers naturels ; par exemple :

4 + 5 = 5 + 4
2 × 3 = 3 × 2

D'autres exemples de lois commutatives incluent l'addition et la multiplication des nombres réels et des nombres complexes, l'addition des vecteurs, et l'intersection et la réunion des ensembles.

D'importantes lois non commutatives sont la soustraction, la division, la multiplication des matrices, la composition de fonctions et la multiplication des quaternions.

Un groupe abélien est un groupe dont la loi est commutative.

Un anneau est appelé anneau commutatif si sa multiplication est commutative puisque la loi d'addition dans tout anneau est commutative.

Il en est de même pour un corps. Il est remarquable que la loi de multiplication sur un corps fini est toujours commutative. C'est ce qu'on appelle le théorème de Wedderburn.

Soit S un ensemble muni d'une loi de composition interne \star. Deux éléments x,y de S sont dits permutables si par définition:

x\star y=y\star x.

On dit parfois que x et y commutent.

Remarque : Il peut exister dans un ensemble des éléments permutables, sans que la loi soit commutative. C'est le cas, par exemple, de l'ensemble des matrices carrées d'ordre n muni de la multiplication qui n'est pas commutative. Mais la matrice identité et n'importe quelle autre matrice sont permutables.

\star est commutative si et seulement si pour tout couple (x,y) d'éléments de S, x et y sont permutables.

Non-commutativité

Toutes les lois de composition interne ne sont pas commutatives. Par exemple :

  • la soustraction arithmétique : a - b ≠ b - a n'est pas commutative,
  • la soustraction booléenne des solides géométriques n'est pas commutative.

Voir aussi

Wiktprintable without text.svg

Voir « loi commutative » sur le Wiktionnaire.

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques

Ce document provient de « Loi commutative ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Commutativité de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • commutativité — [ kɔmytativite ] n. f. • 1907; de commutatif ♦ Didact. Caractère d une opération commutative. ● commutativité nom féminin Propriété d une opération mathématique commutative. Fait pour des éléments linguistiques de pouvoir entrer dans des cadres… …   Encyclopédie Universelle

  • Commutativite — Loi commutative Exemple montrant la commutativité de l addition (3 + 2 = 2 + 3) En mathématiques, particulièrement en algèbre générale, une loi de composition interne sur un ensemble S est commutative si …   Wikipédia en Français

  • commutativité — komutatyvumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. commutativity; permutability vok. Kommutativität, f; Vertauschbarkeit, f rus. коммутативность, f; перестановочность, f pranc. commutativité, f …   Fizikos terminų žodynas

  • commutativité des opérateurs — operatorių komutatyvumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. permutability of operators vok. Vertauschbarkeit von Operatoren, f rus. коммутативность операторов, f pranc. commutativité des opérateurs, f …   Fizikos terminų žodynas

  • loi de commutativité — komutatyvumo dėsnis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. commutative law vok. kommutatives Gesetz, n rus. коммутативный закон, m; переместительный закон, m pranc. loi de commutativité, f ryšiai: sinonimas – perstatomumo dėsnis …   Automatikos terminų žodynas

  • Algèbre de Boole (structure) — Pour les articles homonymes, voir « Algèbre de Boole ». En mathématiques, une algèbre de Boole, ou parfois anneau de Boole, est une structure algébrique étudiée en particulier en logique mathématique. Une algèbre de Boole peut être… …   Wikipédia en Français

  • Quaternion — Plaque commémorative de la naissance des quaternions sur le pont de Broom (Dublin). « Ici, le 16 octobre 1843, alors qu il se promenait, Sir William Rowan Hamilton découvrit dans un éclair de génie la formule fondamentale sur la… …   Wikipédia en Français

  • — Quaternion Plaque commémorative de la naissance des quaternions sur le pont de Broom (Dublin). « Ici, le 16 octobre 1843, alors qu il se promenait, Sir William Rowan Hamilton découvrit dans un éclair de génie la formule fondamentale sur la… …   Wikipédia en Français

  • commutatif — commutatif, ive [ kɔmytatif, iv ] adj. • XIVe; du lat. commutare 1 ♦ Dr. Qui est relatif à l échange. Contrat commutatif (opposé à contrat aléatoire) . Justice commutative : équivalence des obligations et des charges (opposé à justice… …   Encyclopédie Universelle

  • Addition Des Entiers Naturels — Addition dans l arithmétique de Peano L addition des entiers naturels est une opération arithmétique élémentaire, qui a servi de modèle à la notion générale d addition. Dans cet article, elle est étudiée à partir de son axiomatisation dans l… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”